题目
例7 （1993，数三）已知线性方程组}x_(1)+x_(2)+ax_(3)=4,-x_(1)+ax_(2)+x_(3)=a^2x_(1)-x_(2)+2x_(3)=-4有无穷多解，求a的值并求这些解.
例7 （1993，数三）已知线性方程组
$\begin{cases}x_{1}+x_{2}+ax_{3}=4,\\-x_{1}+ax_{2}+x_{3}=a^{2}\\x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-4\end{cases}$
有无穷多解，求a的值并求这些解.
题目解答
答案
对增广矩阵 $\overline{A}$ 进行行初等变换，得：
\[
\overline{A} \sim \begin{pmatrix}
1 & 1 & a & 4 \\
0 & a+1 & 1+a & a^2+4 \\
0 & 0 & -(a-4)(a+1) & 2a(a-4)
\end{pmatrix}.
\]
为使方程组有无穷多解，第三行全为零，解得 $a = 4$。代入得：
\[
\overline{A} \sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
通解为：
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
4 \\
0
\end{pmatrix} + k \begin{pmatrix}
-3 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}
},
\]
其中 $k$ 为任意常数。
**答案：** $a = 4$，通解如上。
解析
步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵 $\overline{A}$，将方程组的系数和常数项放入矩阵中，得到：
\[ \overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 4 \\ -1 & a & 1 & a^2 \\ 1 & -1 & 2 & -4 \end{pmatrix}. \]
步骤 2：进行行初等变换
对增广矩阵 $\overline{A}$ 进行行初等变换，得到：
\[ \overline{A} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 4 \\ 0 & a+1 & 1+a & a^2+4 \\ 0 & 0 & -(a-4)(a+1) & 2a(a-4) \end{pmatrix}. \]
步骤 3：确定方程组有无穷多解的条件
为使方程组有无穷多解，第三行全为零，即：
\[ -(a-4)(a+1) = 0 \]
\[ 2a(a-4) = 0 \]
解得 $a = 4$。
步骤 4：代入 $a = 4$ 并求解方程组
代入 $a = 4$，得到：
\[ \overline{A} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
由此得到方程组的通解为：
\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \]
其中 $k$ 为任意常数。
构造增广矩阵 $\overline{A}$，将方程组的系数和常数项放入矩阵中，得到：
\[ \overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 4 \\ -1 & a & 1 & a^2 \\ 1 & -1 & 2 & -4 \end{pmatrix}. \]
步骤 2：进行行初等变换
对增广矩阵 $\overline{A}$ 进行行初等变换，得到：
\[ \overline{A} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 4 \\ 0 & a+1 & 1+a & a^2+4 \\ 0 & 0 & -(a-4)(a+1) & 2a(a-4) \end{pmatrix}. \]
步骤 3：确定方程组有无穷多解的条件
为使方程组有无穷多解，第三行全为零，即：
\[ -(a-4)(a+1) = 0 \]
\[ 2a(a-4) = 0 \]
解得 $a = 4$。
步骤 4：代入 $a = 4$ 并求解方程组
代入 $a = 4$，得到：
\[ \overline{A} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
由此得到方程组的通解为：
\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \]
其中 $k$ 为任意常数。