题目
5. 设二次型f(x_(1),x_(2),x_(3))=x_(1)^2+3x_(2)^2+2x_(3)^2+2tx_(1)x_(2)+2x_(2)x_(3)是正定的，则t的取值范围为____.
5. 设二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2tx_{1}x_{2}+2x_{2}x_{3}$是正定的，则t的取值范围为____.
题目解答
答案
为了确定二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 3x_2^2 + 2x_3^2 + 2tx_1x_2 + 2x_2x_3 $ 是正定的，我们需要检查其对应的矩阵的顺序主子式是否全部为正。二次型 $ f $ 的矩阵 $ A $ 为：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & t & 0 \\
t & 3 & 1 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
一个矩阵是正定的当且仅当它的所有顺序主子式都为正。因此，我们需要计算 $ A $ 的所有顺序主子式：
1. 第一个顺序主子式是 $ A $ 的左上角元素：
\[
\Delta_1 = 1
\]
显然， $ \Delta_1 = 1 > 0 $。
2. 第二个顺序主子式是 $ A $ 的左上角 2x2 子矩阵的行列式：
\[
\Delta_2 = \begin{vmatrix}
1 & t \\
t & 3
\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - t \cdot t = 3 - t^2
\]
为了使 $ \Delta_2 > 0 $，我们需要：
\[
3 - t^2 > 0 \implies t^2 < 3 \implies -\sqrt{3} < t < \sqrt{3}
\]
3. 第三个顺序主子式是 $ A $ 的行列式：
\[
\Delta_3 = \begin{vmatrix}
1 & t & 0 \\
t & 3 & 1 \\
0 & 1 & 2
\end{vmatrix}
\]
我们可以使用 cofactor expansion 沿第一行来计算这个行列式：
\[
\Delta_3 = 1 \cdot \begin{vmatrix}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{vmatrix} - t \cdot \begin{vmatrix}
t & 1 \\
0 & 2
\end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix}
t & 3 \\
0 & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - t \cdot (t \cdot 2 - 1 \cdot 0) = 1 \cdot 5 - t \cdot 2t = 5 - 2t^2
\]
为了使 $ \Delta_3 > 0 $，我们需要：
\[
5 - 2t^2 > 0 \implies 2t^2 < 5 \implies t^2 < \frac{5}{2} \implies -\sqrt{\frac{5}{2}} < t < \sqrt{\frac{5}{2}}
\]
由于 $ \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} $，我们有：
\[
-\frac{\sqrt{10}}{2} < t < \frac{\sqrt{10}}{2}
\]
为了满足所有顺序主子式都为正的条件， $ t $ 必须同时满足 $ -\sqrt{3} < t < \sqrt{3} $ 和 $ -\frac{\sqrt{10}}{2} < t < \frac{\sqrt{10}}{2} $。由于 $ \sqrt{3} \approx 1.732 $ 和 $ \frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1.581 $，区间 $ -\frac{\sqrt{10}}{2} < t < \frac{\sqrt{10}}{2} $ 是更小的区间。因此， $ t $ 的取值范围是：
\[
\boxed{\left( -\frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2} \right)}
\]