求下列函数的极值1、(x,y)=6x-(x)^2-4(y)^2+16y-2

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数$f(x,y)=6x-{x}^{2}-4{y}^{2}+16y-2$的偏导数。对于$x$的偏导数${f}_{x}(x,y)$，我们有：
$${f}_{x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=6-2x$$
对于$y$的偏导数${f}_{y}(x,y)$，我们有：
$${f}_{y}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=-8y+16$$
步骤 2：求极值点
为了找到极值点，我们需要解方程组${f}_{x}(x,y)=0$和${f}_{y}(x,y)=0$。解这个方程组，我们得到：
$$6-2x=0$$
$$-8y+16=0$$
解得$x=3$，$y=2$。因此，极值点为$(3,2)$。
步骤 3：判断极值点的性质
为了判断极值点的性质，我们需要计算二阶偏导数，并使用Hessian矩阵的行列式来判断。二阶偏导数为：
$${f}_{xx}(x,y)=\frac{{\partial}^{2}f}{\partial{x}^{2}}=-2$$
$${f}_{yy}(x,y)=\frac{{\partial}^{2}f}{\partial{y}^{2}}=-8$$
$${f}_{xy}(x,y)=\frac{{\partial}^{2}f}{\partial x\partial y}=0$$
Hessian矩阵的行列式为：
$$D={f}_{xx}{f}_{yy}-{f}_{xy}^{2}=(-2)(-8)-0^{2}=16$$
因为$D>0$且${f}_{xx}<0$，所以极值点$(3,2)$为极大值点。
步骤 4：计算极大值
将极值点$(3,2)$代入原函数$f(x,y)$，我们得到：
$$f(3,2)=6(3)-(3)^{2}-4(2)^{2}+16(2)-2=18-9-16+32-2=23$$