已知数列a_n(a neq 0)，若a_n发散，则()。 A. a_n + (1)/(a_n)发散B. a_n - (1)/(a_n)发散C. mathrm{e)^a_n + (1)/(mathrm(e)^a_n)}发散D. mathrm{e)^a_n - (1)/(mathrm(e)^a_n)}发散

为了确定正确答案，我们需要分析每个选项中给出的数列的行为，已知数列 $a_n$ 发散。让我们一步步地分析每个选项。 ### 选项 A: $a_n + \frac{1}{a_n}$ 如果 $a_n$ 发散，它可能趋向于无穷大，趋向于负无穷大，或者在没有接近任何有限极限的情况下 oscillate。让我们考虑每种情况： 1. 如果 $a_n \to \infty$，那么 $\frac{1}{a_n} \to 0$，所以 $a_n + \frac{1}{a_n} \to \infty$，这意味着 $a_n + \frac{1}{a_n}$ 发散。 2. 如果 $a_n \to -\infty$，那么 $\frac{1}{a_n} \to 0$，所以 $a_n + \frac{1}{a_n} \to -\infty$，这意味着 $a_n + \frac{1}{a_n}$ 发散。 3. 如果 $a_n$ oscillate，那么 $a_n + \frac{1}{a_n}$ 也可能 oscillate，但并不一定发散。例如，如果 $a_n = (-1)^n n$，那么 $a_n + \frac{1}{a_n} = (-1)^n n + \frac{(-1)^n}{n}$，这个数列 oscillate 但并不一定发散。 由于 $a_n + \frac{1}{a_n}$ 在 $a_n$ 趋向于无穷大或负无穷大时发散，但并不一定在 $a_n$ oscillate 时发散，我们不能确定 $a_n + \frac{1}{a_n}$ 总是发散。因此，选项 A 不是正确答案。 ### 选项 B: $a_n - \frac{1}{a_n}$ 同样，如果 $a_n$ 发散，让我们考虑每种情况： 1. 如果 $a_n \to \infty$，那么 $\frac{1}{a_n} \to 0$，所以 $a_n - \frac{1}{a_n} \to \infty$，这意味着 $a_n - \frac{1}{a_n}$ 发散。 2. 如果 $a_n \to -\infty$，那么 $\frac{1}{a_n} \to 0$，所以 $a_n - \frac{1}{a_n} \to -\infty$，这意味着 $a_n - \frac{1}{a_n}$ 发散。 3. 如果 $a_n$ oscillate，那么 $a_n - \frac{1}{a_n}$ 也可能 oscillate，但并不一定发散。例如，如果 $a_n = (-1)^n n$，那么 $a_n - \frac{1}{a_n} = (-1)^n n - \frac{(-1)^n}{n}$，这个数列 oscillate 但并不一定发散。 由于 $a_n - \frac{1}{a_n}$ 在 $a_n$ 趋向于无穷大或负无穷大时发散，但并不一定在 $a_n$ oscillate 时发散，我们不能确定 $a_n - \frac{1}{a_n}$ 总是发散。因此，选项 B 不是正确答案。 ### 选项 C: $e^{a_n} + \frac{1}{e^{a_n}}$ 如果 $a_n$ 发散，让我们考虑每种情况： 1. 如果 $a_n \to \infty$，那么 $e^{a_n} \to \infty$ 和 $\frac{1}{e^{a_n}} \to 0$，所以 $e^{a_n} + \frac{1}{e^{a_n}} \to \infty$，这意味着 $e^{a_n} + \frac{1}{e^{a_n}}$ 发散。 2. 如果 $a_n \to -\infty$，那么 $e^{a_n} \to 0$ 和 $\frac{1}{e^{a_n}} \to \infty$，所以 $e^{a_n} + \frac{1}{e^{a_n}} \to \infty$，这意味着 $e^{a_n} + \frac{1}{e^{a_n}}$ 发散。 3. 如果 $a_n$ oscillate，那么 $e^{a_n}$ 和 $\frac{1}{e^{a_n}}$ 也 oscillate，但 $e^{a_n} + \frac{1}{e^{a_n}}$ 总是正的并且有下界 2（因为 $e^x + \frac{1}{e^x} \geq 2$ 对于所有 $x$）。然而，由于 $e^{a_n}$ 和 $\frac{1}{e^{a_n}}$ 没有接近任何有限极限，$e^{a_n} + \frac{1}{e^{a_n}}$ 也发散。 由于 $e^{a_n} + \frac{1}{e^{a_n}}$ 在所有情况下发散，选项 C 是正确答案。 ### 选项 D: $e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}}$ 如果 $a_n$ 发散，让我们考虑每种情况： 1. 如果 $a_n \to \infty$，那么 $e^{a_n} \to \infty$ 和 $\frac{1}{e^{a_n}} \to 0$，所以 $e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}} \to \infty$，这意味着 $e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}}$ 发散。 2. 如果 $a_n \to -\infty$，那么 $e^{a_n} \to 0$ 和 $\frac{1}{e^{a_n}} \to \infty$，所以 $e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}} \to -\infty$，这意味着 $e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}}$ 发散。 3. 如果 $a_n$ oscillate，那么 $e^{a_n}$ 和 $\frac{1}{e^{a_n}}$ 也 oscillate，但 $e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}}$ 可能 oscillate 而不发散。例如，如果 $a_n = (-1)^n n$，那么 $e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}}$ oscillate 而不发散。 由于 $e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}}$ 在 $a_n$ 趋向于无穷大或负无穷大时发散，但并不一定在 $a_n$ oscillate 时发散，我们不能确定 $e^{a_n} - \frac{1}{e^{a_n}}$ 总是发散。因此，选项 D 不是正确答案。 正确答案是 $\boxed{C}$。