题目
将函数 (x)=dfrac (1)(x) 展开成 (x-3) 的幂级数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：将函数 $f(x)=\dfrac {1}{x}$ 转换为以 $(x-3)$ 为变量的形式
为了将函数 $f(x)=\dfrac {1}{x}$ 展开成 $(x-3)$ 的幂级数，我们首先需要将函数转换为以 $(x-3)$ 为变量的形式。为此，我们可以通过代数变换将 $x$ 表示为 $(x-3)$ 的函数。具体地，我们有 $x = (x-3) + 3$。因此，函数可以写为 $f(x) = \dfrac{1}{(x-3) + 3}$。
步骤 2：将函数写成几何级数的形式
接下来，我们利用几何级数的公式 $\dfrac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$，其中 $|r| < 1$。为了将函数写成几何级数的形式，我们需要将分母写成 $1-r$ 的形式。为此，我们有 $f(x) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{1 - \left(-\dfrac{x-3}{3}\right)}$。现在，我们已经将函数写成几何级数的形式，其中 $r = -\dfrac{x-3}{3}$。
步骤 3：将函数展开成幂级数
现在，我们可以将函数展开成幂级数。根据几何级数的公式，我们有 $f(x) = \dfrac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\dfrac{x-3}{3}\right)^n$。因此，函数 $f(x)=\dfrac {1}{x}$ 可以展开成 $(x-3)$ 的幂级数。
为了将函数 $f(x)=\dfrac {1}{x}$ 展开成 $(x-3)$ 的幂级数，我们首先需要将函数转换为以 $(x-3)$ 为变量的形式。为此，我们可以通过代数变换将 $x$ 表示为 $(x-3)$ 的函数。具体地，我们有 $x = (x-3) + 3$。因此，函数可以写为 $f(x) = \dfrac{1}{(x-3) + 3}$。
步骤 2：将函数写成几何级数的形式
接下来，我们利用几何级数的公式 $\dfrac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$，其中 $|r| < 1$。为了将函数写成几何级数的形式，我们需要将分母写成 $1-r$ 的形式。为此，我们有 $f(x) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{1 - \left(-\dfrac{x-3}{3}\right)}$。现在，我们已经将函数写成几何级数的形式，其中 $r = -\dfrac{x-3}{3}$。
步骤 3：将函数展开成幂级数
现在，我们可以将函数展开成幂级数。根据几何级数的公式，我们有 $f(x) = \dfrac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\dfrac{x-3}{3}\right)^n$。因此，函数 $f(x)=\dfrac {1}{x}$ 可以展开成 $(x-3)$ 的幂级数。