【题目】若点(1,3)为曲线 y=ax^3+bx^2 的拐点,则A. a=-3/2b=9/2B. a=-3/2 B=-9/2a=-1/2 b=9/2C. a=1/2 B=-9/2

步骤 1：计算一阶导数
给定曲线 y = ax^3 + bx^2，我们首先计算其一阶导数 y'。
\[ y' = \frac{d}{dx}(ax^3 + bx^2) = 3ax^2 + 2bx \]

步骤 2：计算二阶导数
接下来，我们计算二阶导数 y''。
\[ y'' = \frac{d}{dx}(3ax^2 + 2bx) = 6ax + 2b \]

步骤 3：利用拐点条件
拐点处二阶导数为零，即 y''(1) = 0。将 x = 1 代入 y'' 中，得到：
\[ 6a(1) + 2b = 0 \]
\[ 6a + 2b = 0 \]
\[ 3a + b = 0 \]
\[ b = -3a \]

步骤 4：利用点(1,3)在曲线上
点(1,3)在曲线上，代入 y = ax^3 + bx^2，得到：
\[ 3 = a(1)^3 + b(1)^2 \]
\[ 3 = a + b \]
将 b = -3a 代入上式，得到：
\[ 3 = a - 3a \]
\[ 3 = -2a \]
\[ a = -\frac{3}{2} \]
\[ b = -3a = -3(-\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \]