题目
求函数(x,y)=(x)^3-(y)^3+3(x)^2+3(y)^2-9x-|||-__的极值
求函数
的极值
题目解答
答案
本题答案为：函数在点
处取得极大值为：
解：由题可得：函数
求其一阶偏导数为：
令
解得：
，
因此函数的驻点为：
求出该函数的二阶偏导数为：
在驻点处，有
所以有：
因此函数在点处取得极大值为：
在驻点
处，有
所以有：
即函数在该点处不取极值；
在驻点
处，有
所以有：
即函数在该点处不取极值；
在驻点
处，有
所以有：
即函数在该点处不取极值；
综上可得：函数在点处取得极大值为：
解析
步骤 1：求一阶偏导数
对函数$f(x,y)={x}^{3}-{y}^{3}+3{x}^{2}+3{y}^{2}-9x$求一阶偏导数，得到：
$\dfrac {\partial f}{\partial x}=3{x}^{2}+6x-9$
$\dfrac {\partial f}{\partial y}=-3{y}^{2}+6y$
步骤 2：求驻点
令$\dfrac {\partial f}{\partial x}=0$和$\dfrac {\partial f}{\partial y}=0$，解得：
$3{x}^{2}+6x-9=0$，解得$x=-3$或$x=1$
$-3{y}^{2}+6y=0$，解得$y=0$或$y=2$
因此，函数的驻点为：(-3,2)、(-3,0)、(1,2)、(1,0)
步骤 3：求二阶偏导数
求出该函数的二阶偏导数为：
$\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=6x+6$
$\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$
$\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=-6y+6$
步骤 4：判断极值
在驻点(-3,2)处，有$A=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=-12$，$B=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$，$C=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=-6$
所以有：$AC-{B}^{2}=72>0$，$A<0$
因此函数在点(-3,2)处取得极大值为：$f(-3,2)=-27-8+27+12+27=31$
在驻点(-3,0)处，有$A=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=-12$，$B=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$，$C=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=6$
所以有：$AC-{B}^{2}=0$
即函数在该点处不取极值；
在驻点(1,2)处，有$A=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=12$，$B=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$，$C=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=-6$
所以有：$AC-{B}^{2}=-72<0$
即函数在该点处不取极值；
在驻点(1,0)处，有$A=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=12$，$B=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$，$C=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=6$
所以有：$AC-{B}^{2}=0$
即函数在该点处不取极值；
对函数$f(x,y)={x}^{3}-{y}^{3}+3{x}^{2}+3{y}^{2}-9x$求一阶偏导数，得到：
$\dfrac {\partial f}{\partial x}=3{x}^{2}+6x-9$
$\dfrac {\partial f}{\partial y}=-3{y}^{2}+6y$
步骤 2：求驻点
令$\dfrac {\partial f}{\partial x}=0$和$\dfrac {\partial f}{\partial y}=0$，解得：
$3{x}^{2}+6x-9=0$，解得$x=-3$或$x=1$
$-3{y}^{2}+6y=0$，解得$y=0$或$y=2$
因此，函数的驻点为：(-3,2)、(-3,0)、(1,2)、(1,0)
步骤 3：求二阶偏导数
求出该函数的二阶偏导数为：
$\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=6x+6$
$\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$
$\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=-6y+6$
步骤 4：判断极值
在驻点(-3,2)处，有$A=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=-12$，$B=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$，$C=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=-6$
所以有：$AC-{B}^{2}=72>0$，$A<0$
因此函数在点(-3,2)处取得极大值为：$f(-3,2)=-27-8+27+12+27=31$
在驻点(-3,0)处，有$A=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=-12$，$B=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$，$C=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=6$
所以有：$AC-{B}^{2}=0$
即函数在该点处不取极值；
在驻点(1,2)处，有$A=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=12$，$B=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$，$C=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=-6$
所以有：$AC-{B}^{2}=-72<0$
即函数在该点处不取极值；
在驻点(1,0)处，有$A=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=12$，$B=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$，$C=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=6$
所以有：$AC-{B}^{2}=0$
即函数在该点处不取极值；