题目
设第一只盒子中装有3只蓝色球，2只绿色球，2只白色求，第二只盒子中装有2只蓝色球，3只绿色球，4只白色球，独立地分别在两只盒子中各取一只球。（1）求至少有一只蓝色球的概率；（2）求有一只蓝色球，一只白色球的概率；（3）已知至少有一只蓝色球，求有一只蓝色球、一只白色球的概率.
设第一只盒子中装有3只蓝色球，2只绿色球，2只白色求，第二只盒子中装有2只蓝色球，3只绿色球，4只白色球，独立地分别在两只盒子中各取一只球。
（1）求至少有一只蓝色球的概率；
（2）求有一只蓝色球，一只白色球的概率；
（3）已知至少有一只蓝色球，求有一只蓝色球、一只白色球的概率.
题目解答
答案
（1）至少有一只蓝色球的概率为
；
（2）有一只蓝色球，一只白色球的概率为
；
（3）已知至少有一只蓝色球，则有一只蓝色球、一只白色球的条件概率为
.
解析
步骤 1：计算第一只盒子中取到蓝色球的概率
第一只盒子中总共有7个球，其中3个是蓝色的，因此取到蓝色球的概率为$\dfrac{3}{7}$。
步骤 2：计算第二只盒子中取到蓝色球的概率
第二只盒子中总共有9个球，其中2个是蓝色的，因此取到蓝色球的概率为$\dfrac{2}{9}$。
步骤 3：计算至少有一只蓝色球的概率
至少有一只蓝色球的概率可以通过计算没有蓝色球的概率，然后用1减去这个概率来得到。没有蓝色球的概率是第一只盒子中取到非蓝色球的概率乘以第二只盒子中取到非蓝色球的概率。第一只盒子中非蓝色球的概率为$\dfrac{4}{7}$，第二只盒子中非蓝色球的概率为$\dfrac{7}{9}$。因此，没有蓝色球的概率为$\dfrac{4}{7} \times \dfrac{7}{9} = \dfrac{4}{9}$。所以，至少有一只蓝色球的概率为$1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$。
步骤 4：计算有一只蓝色球，一只白色球的概率
第一只盒子中取到蓝色球的概率为$\dfrac{3}{7}$，第二只盒子中取到白色球的概率为$\dfrac{4}{9}$。第一只盒子中取到白色球的概率为$\dfrac{2}{7}$，第二只盒子中取到蓝色球的概率为$\dfrac{2}{9}$。因此，有一只蓝色球，一只白色球的概率为$\dfrac{3}{7} \times \dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{7} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{12}{63} + \dfrac{4}{63} = \dfrac{16}{63}$。
步骤 5：计算已知至少有一只蓝色球，求有一只蓝色球、一只白色球的条件概率
已知至少有一只蓝色球，求有一只蓝色球、一只白色球的条件概率可以通过条件概率公式计算，即$\dfrac{P(有一只蓝色球，一只白色球)}{P(至少有一只蓝色球)}$。根据步骤3和步骤4的结果，这个条件概率为$\dfrac{\dfrac{16}{63}}{\dfrac{5}{9}} = \dfrac{16}{63} \times \dfrac{9}{5} = \dfrac{16}{35}$。
第一只盒子中总共有7个球，其中3个是蓝色的，因此取到蓝色球的概率为$\dfrac{3}{7}$。
步骤 2：计算第二只盒子中取到蓝色球的概率
第二只盒子中总共有9个球，其中2个是蓝色的，因此取到蓝色球的概率为$\dfrac{2}{9}$。
步骤 3：计算至少有一只蓝色球的概率
至少有一只蓝色球的概率可以通过计算没有蓝色球的概率，然后用1减去这个概率来得到。没有蓝色球的概率是第一只盒子中取到非蓝色球的概率乘以第二只盒子中取到非蓝色球的概率。第一只盒子中非蓝色球的概率为$\dfrac{4}{7}$，第二只盒子中非蓝色球的概率为$\dfrac{7}{9}$。因此，没有蓝色球的概率为$\dfrac{4}{7} \times \dfrac{7}{9} = \dfrac{4}{9}$。所以，至少有一只蓝色球的概率为$1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$。
步骤 4：计算有一只蓝色球，一只白色球的概率
第一只盒子中取到蓝色球的概率为$\dfrac{3}{7}$，第二只盒子中取到白色球的概率为$\dfrac{4}{9}$。第一只盒子中取到白色球的概率为$\dfrac{2}{7}$，第二只盒子中取到蓝色球的概率为$\dfrac{2}{9}$。因此，有一只蓝色球，一只白色球的概率为$\dfrac{3}{7} \times \dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{7} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{12}{63} + \dfrac{4}{63} = \dfrac{16}{63}$。
步骤 5：计算已知至少有一只蓝色球，求有一只蓝色球、一只白色球的条件概率
已知至少有一只蓝色球，求有一只蓝色球、一只白色球的条件概率可以通过条件概率公式计算，即$\dfrac{P(有一只蓝色球，一只白色球)}{P(至少有一只蓝色球)}$。根据步骤3和步骤4的结果，这个条件概率为$\dfrac{\dfrac{16}{63}}{\dfrac{5}{9}} = \dfrac{16}{63} \times \dfrac{9}{5} = \dfrac{16}{35}$。