2.求过点(1,2,-1)且与平面3x-4y+z+16=0和4x-z+6=0均垂直的平面方程.

考查要点：本题主要考查空间几何中平面方程的求解，涉及平面垂直的条件及向量叉乘的应用。

解题核心思路：

1. 平面垂直的条件：两平面垂直当且仅当它们的法向量垂直。
2. 法向量的确定：所求平面的法向量需与已知两平面的法向量均垂直，可通过向量叉乘得到。
3. 点法式方程：利用已知点和法向量直接写出平面方程。

破题关键点：

• 正确计算两已知平面法向量的叉乘，得到所求平面的法向量。
• 代入已知点，化简方程。

步骤1：确定已知平面的法向量

已知平面方程分别为：

1. $3x - 4y + z + 16 = 0$，法向量为 $\mathbf{n_1} = (3, -4, 1)$。
2. $4x - z + 6 = 0$，法向量为 $\mathbf{n_2} = (4, 0, -1)$。

步骤2：求所求平面的法向量

所求平面需与两已知平面垂直，因此其法向量 $\mathbf{n}$ 应与 $\mathbf{n_1}$ 和 $\mathbf{n_2}$ 均垂直。通过叉乘计算：
$\mathbf{n} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\3 & -4 & 1 \\4 & 0 & -1\end{vmatrix} = (4, 7, 16)$

步骤3：利用点法式方程求平面方程

已知平面过点 $M_0(1, 2, -1)$，代入点法式方程：
$4(x - 1) + 7(y - 2) + 16(z + 1) = 0$
展开并化简：
$4x + 7y + 16z - 2 = 0$