题目
已知 (x+dfrac (1)(x))=dfrac (x+{x)^3}(1+{x)^4} ,求 f(x)
题目解答
答案
解析
步骤 1：观察函数形式
观察给定的函数 $f(x+\dfrac {1}{x})=\dfrac {x+{x}^{3}}{1+{x}^{4}}$，我们注意到分子和分母都与 $x$ 和 $\dfrac{1}{x}$ 有关，这提示我们可能需要将 $x+\dfrac{1}{x}$ 作为整体来处理。
步骤 2：化简分子和分母
我们尝试将分子和分母都除以 $x^2$，以简化表达式。这样，分子变为 $\dfrac{x}{x^2} + \dfrac{x^3}{x^2} = \dfrac{1}{x} + x$，分母变为 $\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{x^4}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} + x^2$。因此，原函数可以写为 $f(x+\dfrac {1}{x})=\dfrac {x+\dfrac{1}{x}}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}$。
步骤 3：进一步化简
注意到 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = (x + \dfrac{1}{x})^2 - 2$，因此原函数可以进一步写为 $f(x+\dfrac {1}{x})=\dfrac {x+\dfrac{1}{x}}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2}$。令 $t = x + \dfrac{1}{x}$，则有 $f(t) = \dfrac{t}{t^2-2}$。
步骤 4：确定函数表达式
由于 $t = x + \dfrac{1}{x}$，我们已经将原函数 $f(x+\dfrac {1}{x})$ 转换为 $f(t) = \dfrac{t}{t^2-2}$。因此，$f(x)$ 的表达式为 $f(x) = \dfrac{x}{x^2-2}$，其中 $x$ 的取值范围需要满足 $x^2 - 2 \neq 0$，即 $x \neq \pm\sqrt{2}$。
观察给定的函数 $f(x+\dfrac {1}{x})=\dfrac {x+{x}^{3}}{1+{x}^{4}}$，我们注意到分子和分母都与 $x$ 和 $\dfrac{1}{x}$ 有关，这提示我们可能需要将 $x+\dfrac{1}{x}$ 作为整体来处理。
步骤 2：化简分子和分母
我们尝试将分子和分母都除以 $x^2$，以简化表达式。这样，分子变为 $\dfrac{x}{x^2} + \dfrac{x^3}{x^2} = \dfrac{1}{x} + x$，分母变为 $\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{x^4}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} + x^2$。因此，原函数可以写为 $f(x+\dfrac {1}{x})=\dfrac {x+\dfrac{1}{x}}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}$。
步骤 3：进一步化简
注意到 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = (x + \dfrac{1}{x})^2 - 2$，因此原函数可以进一步写为 $f(x+\dfrac {1}{x})=\dfrac {x+\dfrac{1}{x}}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2}$。令 $t = x + \dfrac{1}{x}$，则有 $f(t) = \dfrac{t}{t^2-2}$。
步骤 4：确定函数表达式
由于 $t = x + \dfrac{1}{x}$，我们已经将原函数 $f(x+\dfrac {1}{x})$ 转换为 $f(t) = \dfrac{t}{t^2-2}$。因此，$f(x)$ 的表达式为 $f(x) = \dfrac{x}{x^2-2}$，其中 $x$ 的取值范围需要满足 $x^2 - 2 \neq 0$，即 $x \neq \pm\sqrt{2}$。