题目
[题目]求由曲线 y=3/x 和直线 x+y=4 所围平面图-|||-形饶x轴旋转所成旋转体的体积
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定交点
联立曲线 $y=3|x|$ 和直线 $x+y=4$，可得 $3|x|=4-x$。解方程 $3|x|=4-x$，得到 $x=1$ 或 $x=3$。因此，交点为 A(1,3) 和 B(3,1)。
步骤 2：确定积分区间
根据交点，积分区间为 [1,3]。
步骤 3：计算旋转体的体积
在 x 处 $(1\lt x\lt 3)$，曲线 $y=3/x$ 和直线 $x+y=4$ 所围平面图形绕 x 轴旋转所成旋转体的截面为一个圆环，外径为 $4-x$，内径为 $3/x$。截面积为 $\pi [ (4-x)^{2}-(3/x)^{2}] =\pi [ (x-4)^{2}-(3/x)^{2}]$。旋转体的体积 $V=\int_{1}^{3}\pi [ (x-4)^{2}-(3/x)^{2}] dx$。
步骤 4：计算积分
$V=\int_{1}^{3}\pi [ (x-4)^{2}-(3/x)^{2}] dx$ $=\pi [ (x-4)^{3}/3+9/x] /{x}^{3}$ $=\pi (-1/3+3+27/3-9)$ $=8\pi /3$。
联立曲线 $y=3|x|$ 和直线 $x+y=4$，可得 $3|x|=4-x$。解方程 $3|x|=4-x$，得到 $x=1$ 或 $x=3$。因此，交点为 A(1,3) 和 B(3,1)。
步骤 2：确定积分区间
根据交点，积分区间为 [1,3]。
步骤 3：计算旋转体的体积
在 x 处 $(1\lt x\lt 3)$，曲线 $y=3/x$ 和直线 $x+y=4$ 所围平面图形绕 x 轴旋转所成旋转体的截面为一个圆环，外径为 $4-x$，内径为 $3/x$。截面积为 $\pi [ (4-x)^{2}-(3/x)^{2}] =\pi [ (x-4)^{2}-(3/x)^{2}]$。旋转体的体积 $V=\int_{1}^{3}\pi [ (x-4)^{2}-(3/x)^{2}] dx$。
步骤 4：计算积分
$V=\int_{1}^{3}\pi [ (x-4)^{2}-(3/x)^{2}] dx$ $=\pi [ (x-4)^{3}/3+9/x] /{x}^{3}$ $=\pi (-1/3+3+27/3-9)$ $=8\pi /3$。