y=(x/(1+x))x

步骤 1：对数求导法
首先，我们对给定的函数 \( y = \left(\frac{x}{1+x}\right)^x \) 应用对数求导法。对数求导法是一种求解复杂函数导数的方法，通过取对数简化求导过程。我们首先对 \( y \) 取自然对数，得到：
\[ \ln y = \ln \left(\left(\frac{x}{1+x}\right)^x\right) \]
步骤 2：利用对数性质简化
利用对数的性质，可以将上式简化为：
\[ \ln y = x \ln \left(\frac{x}{1+x}\right) \]
步骤 3：求导
接下来，我们对上式两边关于 \( x \) 求导。左边使用链式法则，右边使用乘积法则和链式法则。得到：
\[ \frac{1}{y} \cdot y' = \ln \left(\frac{x}{1+x}\right) + x \cdot \frac{1}{\frac{x}{1+x}} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{1+x}\right) \]
步骤 4：计算导数
计算右边的导数，我们得到：
\[ \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{1+x}\right) = \frac{(1+x) \cdot 1 - x \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2} \]
因此，右边的表达式变为：
\[ \ln \left(\frac{x}{1+x}\right) + x \cdot \frac{1}{\frac{x}{1+x}} \cdot \frac{1}{(1+x)^2} = \ln \left(\frac{x}{1+x}\right) + \frac{x}{x} \cdot \frac{1}{1+x} = \ln \left(\frac{x}{1+x}\right) + \frac{1}{1+x} \]
步骤 5：整理并求解 \( y' \)
将上述结果代入，得到：
\[ \frac{1}{y} \cdot y' = \ln \left(\frac{x}{1+x}\right) + \frac{1}{1+x} \]
因此，\( y' \) 为：
\[ y' = y \left(\ln \left(\frac{x}{1+x}\right) + \frac{1}{1+x}\right) \]
步骤 6：代入 \( y \)
最后，代入 \( y = \left(\frac{x}{1+x}\right)^x \)，得到：
\[ y' = \left(\frac{x}{1+x}\right)^x \left(\ln \left(\frac{x}{1+x}\right) + \frac{1}{1+x}\right) \]