题目
7.求微分方程 'sin x=yln y 的通解.
题目解答
答案
\\ln y=C \\tan\\frac{x}{2}.
解析
步骤 1：分离变量
给定微分方程为 $y'\sin x=y\ln y$，首先将变量分离，即把含 $y$ 的项移到方程的一边，含 $x$ 的项移到方程的另一边。为此，我们先将方程写为 $\frac{dy}{dx}\sin x=y\ln y$，然后两边同时除以 $y\ln y$ 并乘以 $dx$，得到 $\frac{dy}{y\ln y}=\frac{dx}{\sin x}$。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边分别积分。左边积分 $\int \frac{dy}{y\ln y}$，右边积分 $\int \frac{dx}{\sin x}$。左边的积分可以通过换元法解决，设 $u=\ln y$，则 $du=\frac{1}{y}dy$，因此左边积分变为 $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C_1=\ln|\ln y|+C_1$。右边的积分 $\int \frac{dx}{\sin x}$ 可以通过万能代换 $t=\tan\frac{x}{2}$ 来解决，得到 $\int \frac{2dt}{1-t^2}=\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C_2$。因此，我们有 $\ln|\ln y|=\ln\left|\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}}\right|+C$，其中 $C=C_2-C_1$。
步骤 3：简化并求解
将上一步得到的方程简化，得到 $\ln|\ln y|=\ln\left|\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}}\right|+C$。由于对数函数的性质，我们可以将方程写为 $\ln y=C\left(\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}}\right)$，其中 $C=e^C$。进一步简化得到 $\ln y=C\tan\frac{x}{2}$，其中 $C$ 是任意常数。
给定微分方程为 $y'\sin x=y\ln y$，首先将变量分离，即把含 $y$ 的项移到方程的一边，含 $x$ 的项移到方程的另一边。为此，我们先将方程写为 $\frac{dy}{dx}\sin x=y\ln y$，然后两边同时除以 $y\ln y$ 并乘以 $dx$，得到 $\frac{dy}{y\ln y}=\frac{dx}{\sin x}$。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边分别积分。左边积分 $\int \frac{dy}{y\ln y}$，右边积分 $\int \frac{dx}{\sin x}$。左边的积分可以通过换元法解决，设 $u=\ln y$，则 $du=\frac{1}{y}dy$，因此左边积分变为 $\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C_1=\ln|\ln y|+C_1$。右边的积分 $\int \frac{dx}{\sin x}$ 可以通过万能代换 $t=\tan\frac{x}{2}$ 来解决，得到 $\int \frac{2dt}{1-t^2}=\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C_2$。因此，我们有 $\ln|\ln y|=\ln\left|\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}}\right|+C$，其中 $C=C_2-C_1$。
步骤 3：简化并求解
将上一步得到的方程简化，得到 $\ln|\ln y|=\ln\left|\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}}\right|+C$。由于对数函数的性质，我们可以将方程写为 $\ln y=C\left(\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}}\right)$，其中 $C=e^C$。进一步简化得到 $\ln y=C\tan\frac{x}{2}$，其中 $C$ 是任意常数。