设长方体的长、宽、高分别为c,y,z，求表面积为6时体积最大的长方体的体积.

步骤 1：建立体积和表面积的关系
长方体的体积$V=xyz$，表面积$S=2(xy+xz+yz)$。题目中给出表面积$S=6$，即$2(xy+xz+yz)=6$，简化得到$xy+xz+yz=3$。

步骤 2：利用拉格朗日乘数法求解
为了求解体积$V=xyz$的最大值，我们引入拉格朗日乘数法。设$L(x,y,z,\lambda)=xyz+\lambda(xy+xz+yz-3)$，其中$\lambda$是拉格朗日乘数。对$L$分别对$x,y,z$求偏导数并令其等于0，得到方程组：
$$
\left \{ \begin{matrix}
yz+\lambda(y+z)=0\\
xz+\lambda(x+z)=0\\
xy+\lambda(x+y)=0\\
xy+xz+yz=3
\end{matrix} \right.
$$

步骤 3：求解方程组
从方程组中，我们可以观察到$x,y,z$在方程中地位相同，因此可以推断出$x=y=z$。将$x=y=z$代入$xy+xz+yz=3$中，得到$3x^2=3$，解得$x=1$。因此，$x=y=z=1$。

步骤 4：计算最大体积
将$x=y=z=1$代入体积公式$V=xyz$中，得到$V=1\cdot 1\cdot 1=1$。