题目
（2）已知函数f(x)= ) 2(x-1),xlt 1 ln x,xgeqslant 1 .
（2）已知函数
，则
的一个原函数是（ ）
A、
B、
C、
D、
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：求解x<1时的原函数
对于x<1，函数f(x)=2(x-1)。求其原函数，即求不定积分$\int 2(x-1)dx$。根据积分公式，$\int 2(x-1)dx = (x-1)^2 + C$，其中C为积分常数。由于原函数在x<1时的任意常数C不影响其作为原函数的性质，我们可以选择C=0，得到原函数为$(x-1)^2$。
步骤 2：求解x≥1时的原函数
对于x≥1，函数f(x)=ln(x)。求其原函数，即求不定积分$\int \ln(x)dx$。根据分部积分法，设u=ln(x)，dv=dx，则du=$\frac{1}{x}dx$，v=x。根据分部积分公式$\int udv = uv - \int vdu$，得到$\int \ln(x)dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln(x) - x + C$。同样，由于原函数在x≥1时的任意常数C不影响其作为原函数的性质，我们可以选择C=1，得到原函数为$x(\ln(x) - 1) + 1$。
步骤 3：验证原函数的连续性
为了保证原函数F(x)在x=1处连续，需要验证F(x)在x=1处的左极限和右极限相等。根据步骤1和步骤2，F(x)在x=1处的左极限为$(1-1)^2=0$，右极限为$1(\ln(1) - 1) + 1=0$。因此，F(x)在x=1处连续。
对于x<1，函数f(x)=2(x-1)。求其原函数，即求不定积分$\int 2(x-1)dx$。根据积分公式，$\int 2(x-1)dx = (x-1)^2 + C$，其中C为积分常数。由于原函数在x<1时的任意常数C不影响其作为原函数的性质，我们可以选择C=0，得到原函数为$(x-1)^2$。
步骤 2：求解x≥1时的原函数
对于x≥1，函数f(x)=ln(x)。求其原函数，即求不定积分$\int \ln(x)dx$。根据分部积分法，设u=ln(x)，dv=dx，则du=$\frac{1}{x}dx$，v=x。根据分部积分公式$\int udv = uv - \int vdu$，得到$\int \ln(x)dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln(x) - x + C$。同样，由于原函数在x≥1时的任意常数C不影响其作为原函数的性质，我们可以选择C=1，得到原函数为$x(\ln(x) - 1) + 1$。
步骤 3：验证原函数的连续性
为了保证原函数F(x)在x=1处连续，需要验证F(x)在x=1处的左极限和右极限相等。根据步骤1和步骤2，F(x)在x=1处的左极限为$(1-1)^2=0$，右极限为$1(\ln(1) - 1) + 1=0$。因此，F(x)在x=1处连续。