题目
4.求曲线 =sqrt (x) 与直线 x=1 、 x=4 、 y=0 所围成的平面图形分别绕x轴、y轴旋转产-|||-生的旋转体的体积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：绕x轴旋转的体积计算
绕x轴旋转的体积可以通过定积分计算，公式为 $V_x = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$，其中 $f(x) = \sqrt{x}$，积分区间为 $[1, 4]$。
步骤 2：计算绕x轴旋转的体积
$V_x = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{4} x dx = \pi \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{4} = \pi \left( \frac{1}{2} \cdot 4^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 \right) = \pi \left( 8 - \frac{1}{2} \right) = \frac{15}{2} \pi$。
步骤 3：绕y轴旋转的体积计算
绕y轴旋转的体积可以通过定积分计算，公式为 $V_y = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx$，其中 $f(x) = \sqrt{x}$，积分区间为 $[1, 4]$。
步骤 4：计算绕y轴旋转的体积
$V_y = 2\pi \int_{1}^{4} x \sqrt{x} dx = 2\pi \int_{1}^{4} x^{3/2} dx = 2\pi \left[ \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_{1}^{4} = 2\pi \left( \frac{2}{5} \cdot 4^{5/2} - \frac{2}{5} \cdot 1^{5/2} \right) = 2\pi \left( \frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \right) = 2\pi \left( \frac{64}{5} - \frac{2}{5} \right) = 2\pi \cdot \frac{62}{5} = \frac{124}{5} \pi$。
绕x轴旋转的体积可以通过定积分计算，公式为 $V_x = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$，其中 $f(x) = \sqrt{x}$，积分区间为 $[1, 4]$。
步骤 2：计算绕x轴旋转的体积
$V_x = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{4} x dx = \pi \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{4} = \pi \left( \frac{1}{2} \cdot 4^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 \right) = \pi \left( 8 - \frac{1}{2} \right) = \frac{15}{2} \pi$。
步骤 3：绕y轴旋转的体积计算
绕y轴旋转的体积可以通过定积分计算，公式为 $V_y = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx$，其中 $f(x) = \sqrt{x}$，积分区间为 $[1, 4]$。
步骤 4：计算绕y轴旋转的体积
$V_y = 2\pi \int_{1}^{4} x \sqrt{x} dx = 2\pi \int_{1}^{4} x^{3/2} dx = 2\pi \left[ \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_{1}^{4} = 2\pi \left( \frac{2}{5} \cdot 4^{5/2} - \frac{2}{5} \cdot 1^{5/2} \right) = 2\pi \left( \frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \right) = 2\pi \left( \frac{64}{5} - \frac{2}{5} \right) = 2\pi \cdot \frac{62}{5} = \frac{124}{5} \pi$。