题目
其它（共3题，20.0分）3. (10.0分) 某工厂生产两种产品A与B，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品A与生产y单位的产品B的总费用是： 400+2x+3y+0.01(3x^2+xy+3y^2)(元). 求取得最大利润时两种产品的产量.
其它（共3题，20.0分）
3. (10.0分)
某工厂生产两种产品A与B，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品A与生产y单位的产品B的总费用是：
$ 400+2x+3y+0.01(3x^{2}+xy+3y^{2})$(元).
求取得最大利润时两种产品的产量.
题目解答
答案
总收益函数为 $ R(x, y) = 10x + 9y $，总成本函数为 $ C(x, y) = 400 + 2x + 3y + 0.01(3x^2 + xy + 3y^2) $。
利润函数 $ L(x, y) = R(x, y) - C(x, y) = 8x + 6y - 400 - 0.01(3x^2 + xy + 3y^2) $。
求偏导数并令其为零：
\[
\begin{cases}
L_x = 8 - 0.06x - 0.01y = 0 \\
L_y = 6 - 0.01x - 0.06y = 0
\end{cases}
\]
解得 $ x = 120 $，$ y = 80 $。
由海森矩阵 $ H = \begin{vmatrix} -0.06 & -0.01 \\ -0.01 & -0.06 \end{vmatrix} $ 的行列式 $ \det(H) = 0.0035 > 0 $ 且 $ L_{xx} < 0 $，知该点为最大值。
**答案：**
产品A的产量为120单位，产品B的产量为80单位。
解析
步骤 1：定义总收益函数和总成本函数
总收益函数为 $ R(x, y) = 10x + 9y $，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示产品A和产品B的产量。
总成本函数为 $ C(x, y) = 400 + 2x + 3y + 0.01(3x^2 + xy + 3y^2) $，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示产品A和产品B的产量。
步骤 2：定义利润函数
利润函数 $ L(x, y) = R(x, y) - C(x, y) = 8x + 6y - 400 - 0.01(3x^2 + xy + 3y^2) $。
步骤 3：求偏导数并令其为零
对利润函数求偏导数并令其为零，得到方程组：
\[ \begin{cases} L_x = 8 - 0.06x - 0.01y = 0 \\ L_y = 6 - 0.01x - 0.06y = 0 \end{cases} \]
步骤 4：解方程组
解方程组得到 $ x = 120 $，$ y = 80 $。
步骤 5：验证极值点
由海森矩阵 $ H = \begin{vmatrix} -0.06 & -0.01 \\ -0.01 & -0.06 \end{vmatrix} $ 的行列式 $ \det(H) = 0.0035 > 0 $ 且 $ L_{xx} < 0 $，知该点为最大值。
总收益函数为 $ R(x, y) = 10x + 9y $，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示产品A和产品B的产量。
总成本函数为 $ C(x, y) = 400 + 2x + 3y + 0.01(3x^2 + xy + 3y^2) $，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示产品A和产品B的产量。
步骤 2：定义利润函数
利润函数 $ L(x, y) = R(x, y) - C(x, y) = 8x + 6y - 400 - 0.01(3x^2 + xy + 3y^2) $。
步骤 3：求偏导数并令其为零
对利润函数求偏导数并令其为零，得到方程组：
\[ \begin{cases} L_x = 8 - 0.06x - 0.01y = 0 \\ L_y = 6 - 0.01x - 0.06y = 0 \end{cases} \]
步骤 4：解方程组
解方程组得到 $ x = 120 $，$ y = 80 $。
步骤 5：验证极值点
由海森矩阵 $ H = \begin{vmatrix} -0.06 & -0.01 \\ -0.01 & -0.06 \end{vmatrix} $ 的行列式 $ \det(H) = 0.0035 > 0 $ 且 $ L_{xx} < 0 $，知该点为最大值。