18.18 设 (pi )=1. 求f(x),使曲线积分 iint [ sin x-f(x)] dfrac (y)(x)dx+f(x)dy 与路径无关,-|||-并计算当A,B两点坐标分别为(1,0 ),(π,π)时的曲线积分的值.

考查要点：本题主要考查曲线积分与路径无关的条件以及一阶线性微分方程的求解。
解题思路：

1. 判断曲线积分与路径无关的条件：根据全微分条件，需验证$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，从而建立关于$f(x)$的微分方程。
2. 求解微分方程：将方程转化为标准的一阶线性微分方程形式，利用积分因子法求解，并结合初始条件$f(\pi)=1$确定特解。
3. 计算曲线积分：利用路径无关性，选择最简路径（如折线路径）直接计算积分值。

步骤1：确定与路径无关的条件

设曲线积分为$\int_{AB} P(x,y)dx + Q(x,y)dy$，其中：
$P(x,y) = \left( \sin x - f(x) \right) \frac{y}{x}, \quad Q(x,y) = f(x).$
根据曲线积分与路径无关的条件$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，计算得：
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\sin x - f(x)}{x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = f'(x).$
令两者相等，得微分方程：
$f'(x) + \frac{1}{x}f(x) = \frac{\sin x}{x}.$

步骤2：求解微分方程

将方程写成标准形式：
$f'(x) + \frac{1}{x}f(x) = \frac{\sin x}{x}.$
积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x}dx} = e^{\ln x} = x.$
方程两边乘以积分因子：
$x f'(x) + f(x) = \sin x.$
左边为$\frac{d}{dx}[x f(x)]$，积分得：
$x f(x) = \int \sin x \, dx + C = -\cos x + C.$
因此：
$f(x) = \frac{-\cos x + C}{x}.$

步骤3：确定常数$C$

利用初始条件$f(\pi) = 1$：
$1 = \frac{-\cos \pi + C}{\pi} \implies 1 = \frac{1 + C}{\pi} \implies C = \pi - 1.$
故特解为：
$f(x) = \frac{\pi - 1 - \cos x}{x}.$

步骤4：计算曲线积分

选择路径$A(1,0) \to (\pi,0) \to B(\pi,\pi)$：

1. 沿$x$轴从$(1,0)$到$(\pi,0)$：$y=0$，积分项$\frac{y}{x}dx$为0，仅剩$\int f(x) dy$，但$y$不变，故积分为0。
2. 沿直线$x=\pi$从$(\pi,0)$到$(\pi,\pi)$：$dx=0$，积分变为$\int_0^\pi f(\pi) dy$。
   代入$f(\pi)=1$，得积分值为$\pi$。
   最终曲线积分值为$\pi$。