设随机变量X在区间（0,1）服从均匀分布 求Y=-2lnX的概率密度

考查要点：本题主要考查函数变换法求概率密度的应用，涉及均匀分布的性质、分布函数法以及概率密度的导数计算。

解题核心思路：

1. 确定Y的分布函数：通过不等式变形，将Y的事件转化为X的事件，利用X的均匀分布计算概率。
2. 求导得到概率密度：对分布函数求导，注意定义域的划分（y的正负情况）。
3. 验证结果合理性：结合指数分布的形式，确认最终结果的正确性。

破题关键点：

• 处理不等式方向：当两边乘以负数时，注意不等式方向改变。
• 指数函数的单调性：利用ln和指数函数的单调性，将事件转换为X的范围。
• 均匀分布的CDF：直接应用均匀分布的累积分布函数简化计算。

步骤1：求Y的分布函数

定义事件：
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(-2\ln X \leq y)$

不等式变形：
两边除以-2（不等式方向反转）：
$\ln X \geq -\frac{y}{2}$

取指数函数：
$X \geq e^{-y/2}$

结合X的取值范围：

• 当$y \geq 0$时，$e^{-y/2} \leq 1$，此时$P(X \geq e^{-y/2}) = 1 - e^{-y/2}$。
• 当$y < 0$时，$e^{-y/2} > 1$，但$X$最大为1，故$P(X \geq e^{-y/2}) = 0$。

分布函数表达式：
$F_Y(y) = \begin{cases}1 - e^{-y/2}, & y \geq 0, \\0, & y < 0.\end{cases}$

步骤2：求导得到概率密度

对$F_Y(y)$求导：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \begin{cases}\frac{d}{dy}\left(1 - e^{-y/2}\right) = \frac{1}{2}e^{-y/2}, & y \geq 0, \\0, & y < 0.\end{cases}$

结论：
$Y$服从参数为$\lambda = \frac{1}{2}$的指数分布，概率密度为：
$f_Y(y) = \frac{1}{2}e^{-y/2}, \quad y \in (0, +\infty).$