题目
设随机变量X在区间（0,1）服从均匀分布 求Y=-2lnX的概率密度
设随机变量X在区间（0,1）服从均匀分布 求Y=-2lnX的概率密度
题目解答
答案
F(y)=P(Y<=y)=P(-2 lnx<=y)=P(lnx>=-y/2)=P(x>=e^{(}-y/2))=1-P(x<=e^{(}-y/2))=1-e^{(}-y/2)f(y)=F'(y)=(\\frac{1}{2})e^{(}-y/2)(y \\in(0,+\\inf{ty}))
解析
步骤 1：确定X的分布
随机变量X在区间（0,1）服从均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases}
1 & \text{if } 0 < x < 1 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases} \]
步骤 2：求Y的累积分布函数
Y = -2lnX，我们首先求Y的累积分布函数F_Y(y)：
\[ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(-2\ln X \leq y) = P(\ln X \geq -\frac{y}{2}) = P(X \geq e^{-\frac{y}{2}}) \]
由于X在（0,1）区间内，所以当y > 0时，有：
\[ F_Y(y) = 1 - P(X \leq e^{-\frac{y}{2}}) = 1 - e^{-\frac{y}{2}} \]
当y ≤ 0时，F_Y(y) = 0，因为X的取值范围是（0,1），所以Y的取值范围是（0，+∞）。
步骤 3：求Y的概率密度函数
Y的概率密度函数f_Y(y)是F_Y(y)的导数：
\[ f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} (1 - e^{-\frac{y}{2}}) = \frac{1}{2} e^{-\frac{y}{2}} \]
当y > 0时，f_Y(y) = \frac{1}{2} e^{-\frac{y}{2}}，当y ≤ 0时，f_Y(y) = 0。
随机变量X在区间（0,1）服从均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases}
1 & \text{if } 0 < x < 1 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases} \]
步骤 2：求Y的累积分布函数
Y = -2lnX，我们首先求Y的累积分布函数F_Y(y)：
\[ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(-2\ln X \leq y) = P(\ln X \geq -\frac{y}{2}) = P(X \geq e^{-\frac{y}{2}}) \]
由于X在（0,1）区间内，所以当y > 0时，有：
\[ F_Y(y) = 1 - P(X \leq e^{-\frac{y}{2}}) = 1 - e^{-\frac{y}{2}} \]
当y ≤ 0时，F_Y(y) = 0，因为X的取值范围是（0,1），所以Y的取值范围是（0，+∞）。
步骤 3：求Y的概率密度函数
Y的概率密度函数f_Y(y)是F_Y(y)的导数：
\[ f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} (1 - e^{-\frac{y}{2}}) = \frac{1}{2} e^{-\frac{y}{2}} \]
当y > 0时，f_Y(y) = \frac{1}{2} e^{-\frac{y}{2}}，当y ≤ 0时，f_Y(y) = 0。