题目
设二阶可导函数 f(x)满足 (1)=f(-1)=1, (0)=-1, 且 ''(x)gt 0, 则-|||-(A) (int )_(-1)^1f(x)dxgt 0. (B) (int )_(-1)^1f(x)dxlt 0.-|||-(C) (int )_(-1)^0f(x)dxgt (int )_(0)^1f(x)dx. (D) (int )_(-1)^0f(x)dxlt (int )_(0)^1f(x)dx.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解函数性质
函数f(x)在区间[-1,1]上二阶可导，且$f''(x) > 0$，说明f(x)在该区间上是凹函数。同时，f(x)在x=-1,0,1处的函数值分别为1,-1,1，这表明函数在x=0处达到最小值-1，而在x=-1和x=1处达到最大值1。
步骤 2：分析函数图像
由于f(x)在[-1,1]上是凹函数，且在x=0处达到最小值，因此函数图像在x=0处的两侧都是向上弯曲的。这意味着在x=0左侧，函数值从1递减到-1；在x=0右侧，函数值从-1递增到1。
步骤 3：计算定积分
由于f(x)在[-1,1]上是偶函数（f(-x) = f(x)），因此${\int }_{-1}^{1}f(x)dx = 2{\int }_{0}^{1}f(x)dx$。由于f(x)在[0,1]上是凹函数，且f(0)=-1，f(1)=1，因此${\int }_{0}^{1}f(x)dx$的值小于0，从而${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$的值也小于0。
步骤 4：比较定积分
由于f(x)在[-1,0]和[0,1]上都是凹函数，且f(0)=-1，f(-1)=f(1)=1，因此${\int }_{-1}^{0}f(x)dx$和${\int }_{0}^{1}f(x)dx$的值相等，且都小于0。
函数f(x)在区间[-1,1]上二阶可导，且$f''(x) > 0$，说明f(x)在该区间上是凹函数。同时，f(x)在x=-1,0,1处的函数值分别为1,-1,1，这表明函数在x=0处达到最小值-1，而在x=-1和x=1处达到最大值1。
步骤 2：分析函数图像
由于f(x)在[-1,1]上是凹函数，且在x=0处达到最小值，因此函数图像在x=0处的两侧都是向上弯曲的。这意味着在x=0左侧，函数值从1递减到-1；在x=0右侧，函数值从-1递增到1。
步骤 3：计算定积分
由于f(x)在[-1,1]上是偶函数（f(-x) = f(x)），因此${\int }_{-1}^{1}f(x)dx = 2{\int }_{0}^{1}f(x)dx$。由于f(x)在[0,1]上是凹函数，且f(0)=-1，f(1)=1，因此${\int }_{0}^{1}f(x)dx$的值小于0，从而${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$的值也小于0。
步骤 4：比较定积分
由于f(x)在[-1,0]和[0,1]上都是凹函数，且f(0)=-1，f(-1)=f(1)=1，因此${\int }_{-1}^{0}f(x)dx$和${\int }_{0}^{1}f(x)dx$的值相等，且都小于0。