题目

7.（10分）若A、B都是n阶矩阵，且A·B=0，则A的秩＜n。bigcirc正确bigcirc错误

7.（10分）若A、B都是n阶矩阵，且A·B=0，则A的秩＜n。 $\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误

题目解答

答案

假设 $A$ 的秩为 $n$，则 $A$ 可逆。由 $A \cdot B = 0$，左乘 $A^{-1}$ 得： \[ B = A^{-1} \cdot (A \cdot B) = A^{-1} \cdot 0 = 0 \] 若 $B \neq 0$，则 $A$ 必须不可逆，即 $\text{秩}(A) < n$。但题目未明确 $B \neq 0$，若 $B = 0$，则 $A$ 可为任意矩阵，包括满秩矩阵。 因此，原陈述不恒成立。 答案：$\boxed{B}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵乘法性质、矩阵秩与可逆性的关系，以及命题逻辑中的全称判断。

解题核心思路：

  1. 假设法：假设结论不成立（即A的秩等于n），推导出矛盾或可能的情况。
  2. 反例法：通过构造特例（如B为零矩阵）说明原命题不成立。

破题关键点：

  • 矩阵可逆性：若A的秩为n，则A可逆，此时由AB=0可推出B=0。
  • 命题的普遍性：题目未限定B的具体形式，若存在B≠0的情况则A必须不可逆，但若B=0时A可以满秩，因此原命题不恒成立。

步骤1：假设A的秩为n
若A的秩为n，则A是可逆矩阵。根据矩阵乘法性质，对等式AB=0左乘A⁻¹，得：
$B = A^{-1} \cdot (A \cdot B) = A^{-1} \cdot 0 = 0$
此时若B≠0，则矛盾，说明A的秩必须小于n。

步骤2：分析B的可能情况

  • 若B≠0：则A不可逆，即秩(A) < n。
  • 若B=0：此时无论A是否满秩，AB=0均成立。例如，A为n阶单位矩阵（秩为n），B为零矩阵，满足AB=0。

结论：原命题未限定B≠0，因此存在A秩为n的情况，命题不恒成立。