题目
设 z = f(-(x)/(y))，且 f(x) 可导，则 (partial z)/(partial x) = ( )A. f'(-(x)/(y))B. (x)/(y^2) f'(-(x)/(y))C. -(1)/(y) f'(-(x)/(y))D. -x f'(-(x)/(y))
设 $z = f\left(-\frac{x}{y}\right)$，且 $f(x)$ 可导，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = (\quad)$
A. $f'\left(-\frac{x}{y}\right)$
B. $\frac{x}{y^2} f'\left(-\frac{x}{y}\right)$
C. $-\frac{1}{y} f'\left(-\frac{x}{y}\right)$
D. $-x f'\left(-\frac{x}{y}\right)$
题目解答
答案
C. $-\frac{1}{y} f'\left(-\frac{x}{y}\right)$
解析
步骤 1：定义中间变量
设 $ u = \frac{-x}{y} $，则 $ z = f(u) $。这里我们引入了一个中间变量 $u$，以便于后续的链式法则应用。
步骤 2：应用链式法则
由链式法则得： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = f'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \] 这里我们使用了链式法则，将 $z$ 对 $x$ 的偏导数分解为 $f'(u)$ 和 $u$ 对 $x$ 的偏导数的乘积。
步骤 3：计算偏导数
计算得： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{y} \] 这里我们计算了 $u$ 对 $x$ 的偏导数，注意到 $y$ 是常数，因此 $u$ 对 $x$ 的偏导数为 $-\frac{1}{y}$。
步骤 4：代入并简化
代入得： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = f'\left( \frac{-x}{y} \right) \cdot \left( -\frac{1}{y} \right) = -\frac{1}{y} f'\left( \frac{-x}{y} \right) \] 这里我们将 $u$ 对 $x$ 的偏导数代入链式法则的表达式中，并进行了简化。
设 $ u = \frac{-x}{y} $，则 $ z = f(u) $。这里我们引入了一个中间变量 $u$，以便于后续的链式法则应用。
步骤 2：应用链式法则
由链式法则得： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = f'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \] 这里我们使用了链式法则，将 $z$ 对 $x$ 的偏导数分解为 $f'(u)$ 和 $u$ 对 $x$ 的偏导数的乘积。
步骤 3：计算偏导数
计算得： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{y} \] 这里我们计算了 $u$ 对 $x$ 的偏导数，注意到 $y$ 是常数，因此 $u$ 对 $x$ 的偏导数为 $-\frac{1}{y}$。
步骤 4：代入并简化
代入得： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = f'\left( \frac{-x}{y} \right) \cdot \left( -\frac{1}{y} \right) = -\frac{1}{y} f'\left( \frac{-x}{y} \right) \] 这里我们将 $u$ 对 $x$ 的偏导数代入链式法则的表达式中，并进行了简化。