(12.lim_(xto0)((2-sin x-cos x)/(1+x))^(1)/(tan x)=____.

为了求解极限 $\lim_{x\to0}\left(\frac{2-\sin x-\cos x}{1+x}\right)^{\frac{1}{\tan x}}$，我们可以使用对数和指数的性质来简化问题。首先，设 $y = \left(\frac{2-\sin x-\cos x}{1+x}\right)^{\frac{1}{\tan x}}$。对两边取自然对数，得到： \[ \ln y = \frac{1}{\tan x} \ln \left(\frac{2-\sin x-\cos x}{1+x}\right) \] 现在，我们需要求 $\lim_{x\to0} \ln y$。这等价于求： \[ \lim_{x\to0} \frac{\ln \left(\frac{2-\sin x-\cos x}{1+x}\right)}{\tan x} \] 首先，我们计算 $\ln \left(\frac{2-\sin x-\cos x}{1+x}\right)$ 在 $x=0$ 附近的展开式。当 $x$ 很小时，$\sin x \approx x$ 和 $\cos x \approx 1$，所以： \[ 2 - \sin x - \cos x \approx 2 - x - 1 = 1 - x \] 因此，$\frac{2-\sin x-\cos x}{1+x} \approx \frac{1-x}{1+x}$。使用对数的近似 $\ln(1+z) \approx z$ 当 $z$ 很小时，我们有： \[ \ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \ln (1-x) - \ln (1+x) \approx -x - x = -2x \] 所以，原极限变为： \[ \lim_{x\to0} \frac{-2x}{\tan x} \] 由于 $\tan x \approx x$ 当 $x$ 很小时，我们有： \[ \lim_{x\to0} \frac{-2x}{x} = -2 \] 因此，$\lim_{x\to0} \ln y = -2$，这意味着 $\lim_{x\to0} y = e^{-2}$。所以，原极限的值是： \[ \boxed{e^{-2}} \]