题目
[题目]设有10件产品,其中有4件次品,依次从中-|||-不放回的抽取一件产品,直到将次品取完为止,则-|||-抽取次数为7的概率为多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定抽取7次的条件
抽取7次意味着在第7次抽取时，恰好取完4件次品。因此，前6次抽取中必须有3件次品和3件正品，第7次抽取必须是次品。
步骤 2：计算前6次抽取中3件次品和3件正品的组合数
从4件次品中抽取3件次品的组合数为 ${C}_{4}^{3}$，从6件正品中抽取3件正品的组合数为 ${C}_{6}^{3}$。因此，前6次抽取中3件次品和3件正品的组合数为 ${C}_{4}^{3}\times {C}_{6}^{3}$。
步骤 3：计算前6次抽取中3件次品和3件正品的排列数
前6次抽取中3件次品和3件正品的排列数为 ${A}_{6}^{6}$，但因为次品和正品内部的排列不影响结果，所以排列数为 ${A}_{6}^{3}\times {A}_{3}^{3}$，即 ${A}_{6}^{3}\times {A}_{3}^{3} = {A}_{6}^{3}\times 6$。
步骤 4：计算第7次抽取为次品的排列数
第7次抽取为次品的排列数为 ${A}_{4}^{1}$，即4种可能。
步骤 5：计算总的排列数
总的排列数为从10件产品中抽取7件的排列数，即 ${A}_{10}^{7}$。
步骤 6：计算概率
抽取次数为7的概率为前6次抽取中3件次品和3件正品的组合数乘以排列数，再乘以第7次抽取为次品的排列数，除以总的排列数，即 $\dfrac{{C}_{4}^{3}\times {C}_{6}^{3}\times {A}_{6}^{3}\times {A}_{4}^{1}}{{A}_{10}^{7}}$。
抽取7次意味着在第7次抽取时，恰好取完4件次品。因此，前6次抽取中必须有3件次品和3件正品，第7次抽取必须是次品。
步骤 2：计算前6次抽取中3件次品和3件正品的组合数
从4件次品中抽取3件次品的组合数为 ${C}_{4}^{3}$，从6件正品中抽取3件正品的组合数为 ${C}_{6}^{3}$。因此，前6次抽取中3件次品和3件正品的组合数为 ${C}_{4}^{3}\times {C}_{6}^{3}$。
步骤 3：计算前6次抽取中3件次品和3件正品的排列数
前6次抽取中3件次品和3件正品的排列数为 ${A}_{6}^{6}$，但因为次品和正品内部的排列不影响结果，所以排列数为 ${A}_{6}^{3}\times {A}_{3}^{3}$，即 ${A}_{6}^{3}\times {A}_{3}^{3} = {A}_{6}^{3}\times 6$。
步骤 4：计算第7次抽取为次品的排列数
第7次抽取为次品的排列数为 ${A}_{4}^{1}$，即4种可能。
步骤 5：计算总的排列数
总的排列数为从10件产品中抽取7件的排列数，即 ${A}_{10}^{7}$。
步骤 6：计算概率
抽取次数为7的概率为前6次抽取中3件次品和3件正品的组合数乘以排列数，再乘以第7次抽取为次品的排列数，除以总的排列数，即 $\dfrac{{C}_{4}^{3}\times {C}_{6}^{3}\times {A}_{6}^{3}\times {A}_{4}^{1}}{{A}_{10}^{7}}$。