题目
[题目]求函数 (x,y)=(x)^2+2(y)^2-(x)^2(y)^2 在区域-|||-= (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 4,ygeqslant 0} 上的最大值和最小值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求函数的偏导数
首先，我们需要求出函数 $f(x,y)={x}^{2}+2{y}^{2}-{x}^{2}{y}^{2}$ 的偏导数 ${f}_{x}(x,y)$ 和 ${f}_{y}(x,y)$。
步骤 2：求解偏导数为零的点
令 ${f}_{x}(x,y)={f}_{y}(x,y)=0$，解出可能的极值点。
步骤 3：讨论区域边界上的极值情况
考虑区域 $D$ 的边界，即 $y=0$ 和 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$，并利用拉格朗日乘数法求解边界上的极值点。
步骤 4：比较函数值
比较所有可能的极值点的函数值，确定最大值和最小值。
首先，我们需要求出函数 $f(x,y)={x}^{2}+2{y}^{2}-{x}^{2}{y}^{2}$ 的偏导数 ${f}_{x}(x,y)$ 和 ${f}_{y}(x,y)$。
步骤 2：求解偏导数为零的点
令 ${f}_{x}(x,y)={f}_{y}(x,y)=0$，解出可能的极值点。
步骤 3：讨论区域边界上的极值情况
考虑区域 $D$ 的边界，即 $y=0$ 和 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$，并利用拉格朗日乘数法求解边界上的极值点。
步骤 4：比较函数值
比较所有可能的极值点的函数值，确定最大值和最小值。