题目

[题目]求函数 (x,y)=(x)^2+2(y)^2-(x)^2(y)^2 在区域-|||-= (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 4,ygeqslant 0} 上的最大值和最小值.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查多元函数在闭区域上的极值求解，涉及内部临界点和边界极值的分析，需要综合运用偏导数法和拉格朗日乘数法。

解题思路：

  1. 内部临界点：通过求偏导数，解方程组找到可能的极值点，并计算对应函数值。
  2. 边界极值：将边界分为两部分（y=0和上半圆x²+y²=4），分别求极值：
    • y=0时：直接化简函数求极值；
    • 上半圆时：使用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数求解。

破题关键：

  • 正确求解偏导数并找到临界点，注意排除不符合区域条件的解；
  • 边界处理需全面，尤其注意不同边界部分的极值可能；
  • 比较所有候选点的函数值，确定最终最值。

1. 求内部临界点

计算偏导数：
$f_x = 2x - 2x y^2, \quad f_y = 4y - 2x^2 y$
令$f_x = 0$和$f_y = 0$，解得：

  • 情况1：$x = 0$，代入$f_y = 0$得$y = 0$，对应点$(0, 0)$；
  • 情况2：$y^2 = 1$（即$y = 1$，因$y \geq 0$），代入$f_y = 0$得$x = \pm \sqrt{2}$，对应点$(\pm \sqrt{2}, 1)$。

计算函数值：
$f(0, 0) = 0, \quad f(\pm \sqrt{2}, 1) = 2$

2. 求边界极值

(1) 边界y=0

函数化简为$f(x, 0) = x^2$，在$x \in [-2, 2]$上：

  • 最大值：$f(\pm 2, 0) = 4$；
  • 最小值：$f(0, 0) = 0$。

(2) 边界$x^2 + y^2 = 4$（y ≥ 0）

构造拉格朗日函数：
$F(x, y, \lambda) = x^2 + 2y^2 - x^2y^2 + \lambda(x^2 + y^2 - 4)$
求偏导并解方程组：

  • 情况1：$x = 0$，得$y = 2$，对应点$(0, 2)$，函数值$f(0, 2) = 8$；
  • 情况2：$y \neq 0$且$x \neq 0$，解得$x = \pm \sqrt{\dfrac{5}{2}}$，$y = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$，对应函数值$f = \dfrac{7}{4}$。