题目
求曲线y=x^2，直线y=2x-1及x轴所围成的图形面积。
求曲线$$y=x^2$$，直线$$y=2x-1$$及$$x$$轴所围成的图形面积。
题目解答
答案
根据题意，绘图如下：
根据绘图可知：
直线$$y=2x-1$$与$$x$$轴的交点为$$(\frac{1}{2} ,0)$$
联立$$\cases { y=2x-1\cr y=x^2\cr}$$, 得到直线与曲线交点为$$(1,1)$$
所以可知，曲线$$y=x^2$$，直线$$y=2x-1$$及$$x$$轴所围成的图形面积为：
$$S=$$$$\int_{0}^{1} {x^2}\,{\rm dx}-\int_{\frac{1}{2} }^{1} {(2x-1) }\,{\rm dx}$$$$=\frac{1}{3} x^3|^1_0-(x^2-x)|^1_{\frac{1}{2} }$$$$=\frac{1}{3} -\frac{1}{4}$$$$=\frac{1}{12}$$
综上所述，所求面积为$$\frac{1}{12}$$
解析
步骤 1：确定交点
首先，我们需要确定曲线$$y=x^2$$与直线$$y=2x-1$$的交点。为此，我们联立这两个方程：
$$\cases { y=2x-1\cr y=x^2\cr}$$
解这个方程组，得到：
$$x^2=2x-1$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$(x-1)^2=0$$
$$x=1$$
因此，交点为$$(1,1)$$。
步骤 2：确定与$$x$$轴的交点
接下来，我们需要确定直线$$y=2x-1$$与$$x$$轴的交点。为此，我们令$$y=0$$：
$$2x-1=0$$
$$x=\frac{1}{2}$$
因此，交点为$$(\frac{1}{2} ,0)$$。
步骤 3：计算面积
现在，我们已经确定了曲线$$y=x^2$$，直线$$y=2x-1$$及$$x$$轴所围成的图形的边界。接下来，我们计算这个图形的面积。根据图形的形状，我们可以将面积分为两部分：曲线$$y=x^2$$与$$x$$轴之间的面积，以及直线$$y=2x-1$$与$$x$$轴之间的面积。因此，面积$$S$$为：
$$S=$$$$\int_{0}^{1} {x^2}\,{\rm dx}-\int_{\frac{1}{2} }^{1} {(2x-1) }\,{\rm dx}$$
$$=\frac{1}{3} x^3|^1_0-(x^2-x)|^1_{\frac{1}{2} }$$
$$=\frac{1}{3} -\frac{1}{4}$$
$$=\frac{1}{12}$$
首先，我们需要确定曲线$$y=x^2$$与直线$$y=2x-1$$的交点。为此，我们联立这两个方程：
$$\cases { y=2x-1\cr y=x^2\cr}$$
解这个方程组，得到：
$$x^2=2x-1$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$(x-1)^2=0$$
$$x=1$$
因此，交点为$$(1,1)$$。
步骤 2：确定与$$x$$轴的交点
接下来，我们需要确定直线$$y=2x-1$$与$$x$$轴的交点。为此，我们令$$y=0$$：
$$2x-1=0$$
$$x=\frac{1}{2}$$
因此，交点为$$(\frac{1}{2} ,0)$$。
步骤 3：计算面积
现在，我们已经确定了曲线$$y=x^2$$，直线$$y=2x-1$$及$$x$$轴所围成的图形的边界。接下来，我们计算这个图形的面积。根据图形的形状，我们可以将面积分为两部分：曲线$$y=x^2$$与$$x$$轴之间的面积，以及直线$$y=2x-1$$与$$x$$轴之间的面积。因此，面积$$S$$为：
$$S=$$$$\int_{0}^{1} {x^2}\,{\rm dx}-\int_{\frac{1}{2} }^{1} {(2x-1) }\,{\rm dx}$$
$$=\frac{1}{3} x^3|^1_0-(x^2-x)|^1_{\frac{1}{2} }$$
$$=\frac{1}{3} -\frac{1}{4}$$
$$=\frac{1}{12}$$