题目
16、求极限 lim _(xarrow infty )((dfrac {x-1)(x+2))}^3x
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定极限形式
题目要求求解极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x-1}{x+2})}^{3x}$。首先，观察到当 $x$ 趋于无穷大时，分子和分母都趋于无穷大，因此需要进一步分析。
步骤 2：化简极限表达式
将极限表达式化简为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {-3}{x+2})}^{\dfrac {x+2}{-3}\cdot \dfrac {-3}{x+2}\cdot 3x}$。这里，我们利用了极限的性质，将表达式转化为 $(1+\frac{1}{n})^n$ 的形式，其中 $n$ 趋于无穷大时，$(1+\frac{1}{n})^n$ 的极限为 $e$。
步骤 3：应用极限公式
根据极限公式 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x})}^{x}=e$，可以将原极限表达式转化为 $e$ 的幂次形式。具体地，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {-3}{x+2})}^{\dfrac {x+2}{-3}\cdot \dfrac {-3}{x+2}\cdot 3x} = e^{\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {-9x}{x+2}}$。
步骤 4：计算幂次的极限
计算幂次的极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {-9x}{x+2} = \lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {-9}{1+\dfrac {2}{x}} = -9$。因此，原极限表达式可以进一步简化为 $e^{-9}$。
题目要求求解极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x-1}{x+2})}^{3x}$。首先，观察到当 $x$ 趋于无穷大时，分子和分母都趋于无穷大，因此需要进一步分析。
步骤 2：化简极限表达式
将极限表达式化简为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {-3}{x+2})}^{\dfrac {x+2}{-3}\cdot \dfrac {-3}{x+2}\cdot 3x}$。这里，我们利用了极限的性质，将表达式转化为 $(1+\frac{1}{n})^n$ 的形式，其中 $n$ 趋于无穷大时，$(1+\frac{1}{n})^n$ 的极限为 $e$。
步骤 3：应用极限公式
根据极限公式 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x})}^{x}=e$，可以将原极限表达式转化为 $e$ 的幂次形式。具体地，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {-3}{x+2})}^{\dfrac {x+2}{-3}\cdot \dfrac {-3}{x+2}\cdot 3x} = e^{\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {-9x}{x+2}}$。
步骤 4：计算幂次的极限
计算幂次的极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {-9x}{x+2} = \lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {-9}{1+\dfrac {2}{x}} = -9$。因此，原极限表达式可以进一步简化为 $e^{-9}$。