题目
欲做一个底为正方形，客积 108 立方米的长方体开口容器 ，问该容器的底边和高各为多少米时用样最省？
欲做一个底为正方形，客积 108 立方米的长方体开口容器 ，问该容器的底边和高各为多少米时用样最省？
题目解答
答案
解:设容器底边的边长为 
，高为
。
则
又∵
,可以得到
代入到，
对进行求导，则
令
解得
由此可以得出答案底面边长为6m，高3m是时用料最省
解析
步骤 1：定义变量
设容器底边的边长为 $x$ 米，高为 $h$ 米。
步骤 2：建立体积方程
根据题意，容器的体积为 $108$ 立方米，因此有 $x^2h = 108$。
步骤 3：建立表面积方程
容器的表面积 $S$ 包括底面和四个侧面，即 $S = x^2 + 4xh$。
步骤 4：用体积方程表示高
从体积方程 $x^2h = 108$ 可得 $h = \frac{108}{x^2}$。
步骤 5：将高代入表面积方程
将 $h = \frac{108}{x^2}$ 代入表面积方程 $S = x^2 + 4xh$，得到 $S = x^2 + 4x\left(\frac{108}{x^2}\right) = x^2 + \frac{432}{x}$。
步骤 6：求导数
对 $S$ 关于 $x$ 求导，得到 $S' = 2x - \frac{432}{x^2}$。
步骤 7：求导数为零的点
令 $S' = 0$，即 $2x - \frac{432}{x^2} = 0$，解得 $x^3 = 216$，从而 $x = 6$。
步骤 8：求高
将 $x = 6$ 代入 $h = \frac{108}{x^2}$，得到 $h = \frac{108}{6^2} = 3$。
步骤 9：验证
验证 $x = 6$ 时，$S$ 取得最小值，即 $S = 6^2 + \frac{432}{6} = 36 + 72 = 108$。
设容器底边的边长为 $x$ 米，高为 $h$ 米。
步骤 2：建立体积方程
根据题意，容器的体积为 $108$ 立方米，因此有 $x^2h = 108$。
步骤 3：建立表面积方程
容器的表面积 $S$ 包括底面和四个侧面，即 $S = x^2 + 4xh$。
步骤 4：用体积方程表示高
从体积方程 $x^2h = 108$ 可得 $h = \frac{108}{x^2}$。
步骤 5：将高代入表面积方程
将 $h = \frac{108}{x^2}$ 代入表面积方程 $S = x^2 + 4xh$，得到 $S = x^2 + 4x\left(\frac{108}{x^2}\right) = x^2 + \frac{432}{x}$。
步骤 6：求导数
对 $S$ 关于 $x$ 求导，得到 $S' = 2x - \frac{432}{x^2}$。
步骤 7：求导数为零的点
令 $S' = 0$，即 $2x - \frac{432}{x^2} = 0$，解得 $x^3 = 216$，从而 $x = 6$。
步骤 8：求高
将 $x = 6$ 代入 $h = \frac{108}{x^2}$，得到 $h = \frac{108}{6^2} = 3$。
步骤 9：验证
验证 $x = 6$ 时，$S$ 取得最小值，即 $S = 6^2 + \frac{432}{6} = 36 + 72 = 108$。