题目

【例28】(1997年,1)对数螺线 ρ=e^θ 在点 (ρ,θ)=(e^pi/2,(pi)/(2)) 处的切线的直角坐标方程为____.

【例28】(1997年,1)对数螺线 $ρ=e^{θ}$ 在点 $(ρ,θ)=\left(e^{\pi/2},\frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线的直角坐标方程为____.

题目解答

答案

将极坐标方程 $\rho = e^\theta$ 转换为直角坐标： \[ x = e^\theta \cos \theta, \quad y = e^\theta \sin \theta \] 当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，$\rho = e^{\frac{\pi}{2}}$，对应直角坐标为： \[ x = 0, \quad y = e^{\frac{\pi}{2}} \] 计算导数： \[ \frac{dx}{d\theta} = e^\theta (\cos \theta - \sin \theta), \quad \frac{dy}{d\theta} = e^\theta (\sin \theta + \cos \theta) \] 切线斜率： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta} \bigg|_{\theta = \frac{\pi}{2}} = -1 \] 点斜式方程： \[ y - e^{\frac{\pi}{2}} = -x \quad \Rightarrow \quad x + y = e^{\frac{\pi}{2}} \] **答案：** $\boxed{x + y = e^{\frac{\pi}{2}}}$

解析

考查要点：本题主要考查极坐标方程转换为直角坐标方程，以及极坐标下曲线切线方程的求解方法。

解题核心思路：

  1. 极坐标转直角坐标：利用极坐标与直角坐标的转换公式，确定给定点的直角坐标。
  2. 参数方程法求导：将极坐标方程表示为参数方程（以θ为参数），分别对x和y求导，得到切线斜率。
  3. 点斜式方程：结合切点坐标和切线斜率，写出切线的直角坐标方程。

破题关键点：

  • 正确转换坐标：代入θ值计算直角坐标时，注意三角函数值的符号。
  • 导数计算：对参数方程求导时，注意应用乘积法则，避免符号错误。
  • 斜率化简：约分后得到斜率表达式，代入θ值时需准确计算三角函数值。

步骤1：确定直角坐标

极坐标方程为 $\rho = e^\theta$，当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时：
$\rho = e^{\frac{\pi}{2}}$
根据极坐标转直角坐标的公式：
$x = \rho \cos\theta = e^{\frac{\pi}{2}} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad y = \rho \sin\theta = e^{\frac{\pi}{2}} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\frac{\pi}{2}}$
因此，切点的直角坐标为 $(0, e^{\frac{\pi}{2}})$。

步骤2：求导数确定切线斜率

将极坐标方程表示为参数方程：
$x = e^\theta \cos\theta, \quad y = e^\theta \sin\theta$
分别对 $\theta$ 求导：
$\frac{dx}{d\theta} = e^\theta (\cos\theta - \sin\theta), \quad \frac{dy}{d\theta} = e^\theta (\sin\theta + \cos\theta)$
切线斜率为：
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\sin\theta + \cos\theta}{\cos\theta - \sin\theta}$
代入 $\theta = \frac{\pi}{2}$：
$\frac{dy}{dx} \bigg|_{\theta = \frac{\pi}{2}} = \frac{1 + 0}{0 - 1} = -1$

步骤3：写出切线方程

利用点斜式方程：
$y - e^{\frac{\pi}{2}} = -1 \cdot (x - 0)$
整理得：
$x + y = e^{\frac{\pi}{2}}$