题目
1 2 1-|||-(4)设矩阵A= 3 4 a 其中a为常数,矩阵B满足关系式 =A-B+E, 其中E-|||-1 2 2-|||-是单位矩阵且 neq E 若秩 (A+B)=3, 试求常数a的值。
题目解答
答案
解析
步骤 1：矩阵关系式转换
由关系式 AB=A-B+E 可以转换为 (A+E)(B-E)=0 。
步骤 2：秩的性质
根据秩的性质，$\tan k(A+B)\leqslant \tan k(A+E)+\tan k(B-E)\leqslant 3$ 。
步骤 3：秩的计算
因为 $\tan (A+B)=3$ ，所以 $\tan a(A+E)+\tan k(B-E)=3$ 。又 $\tan k(A+E)\geqslant 2$ ，考虑到B非单位矩阵，所以 $rank(B-E)\geqslant 1$ 。故只有 $\tan k(A+E)=2$ 。
步骤 4：矩阵A+E的秩
计算矩阵A+E的秩，得到 $a=\dfrac {13}{2}$ 。
由关系式 AB=A-B+E 可以转换为 (A+E)(B-E)=0 。
步骤 2：秩的性质
根据秩的性质，$\tan k(A+B)\leqslant \tan k(A+E)+\tan k(B-E)\leqslant 3$ 。
步骤 3：秩的计算
因为 $\tan (A+B)=3$ ，所以 $\tan a(A+E)+\tan k(B-E)=3$ 。又 $\tan k(A+E)\geqslant 2$ ，考虑到B非单位矩阵，所以 $rank(B-E)\geqslant 1$ 。故只有 $\tan k(A+E)=2$ 。
步骤 4：矩阵A+E的秩
计算矩阵A+E的秩，得到 $a=\dfrac {13}{2}$ 。