题目
只需令 y^prime=p,y^primeprime=p^prime, 可将原方程化为一阶微分方程. 【例4】(2000，数一)微分方程 xy^primeprime+3y^prime=0 的通解为____.
只需令 $y^{\prime}=p,y^{\prime\prime}=p^{\prime},$ 可将原方程化为一阶微分方程.
【例4】(2000，数一)微分方程 $xy^{\prime\prime}+3y^{\prime}=0$ 的通解为____.
题目解答
答案
为了解微分方程 $xy'' + 3y' = 0$，我们首先进行替换。设 $y' = p$ 和 $y'' = p'$。将这些替换代入原方程，我们得到：
\[xp' + 3p = 0.\]
这是一个关于 $p$ 的一阶线性微分方程。为了解它，我们可以分离变量。将方程重写为：
\[p' = -\frac{3p}{x}.\]
现在，将变量分离：
\[\frac{dp}{p} = -\frac{3}{x} dx.\]
接下来，对两边进行积分：
\[\int \frac{dp}{p} = -\int \frac{3}{x} dx.\]
左边积分得到 $\ln|p|$，右边积分得到 $-3\ln|x| = \ln|x|^{-3}$。因此，我们有：
\[\ln|p| = \ln|x|^{-3} + C,\]
其中 $C$ 是积分常数。对两边进行指数运算，得到：
\[p = e^C |x|^{-3}.\]
由于 $e^C$ 只是一个常数，我们可以将其写为 $C_1$，其中 $C_1 > 0$。如果考虑 $p$ 的负值，我们可以写为：
\[p = \frac{C_1}{x^3},\]
其中 $C_1$ 是任意常数。回想 $p = y'$，所以我们有：
\[y' = \frac{C_1}{x^3}.\]
现在，对两边关于 $x$ 进行积分：
\[y = \int \frac{C_1}{x^3} dx.\]
右边积分得到：
\[y = C_1 \int x^{-3} dx = C_1 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + C_2 = -\frac{C_1}{2x^2} + C_2,\]
其中 $C_2$ 是另一个积分常数。设 $C_1 = -2C$，其中 $C$ 是任意常数，我们可以写为：
\[y = \frac{C}{x^2} + C_2.\]
因此，微分方程 $xy'' + 3y' = 0$ 的通解为：
\[\boxed{y = \frac{C_1}{x^2} + C_2}.\]
解析
步骤 1：变量替换
设 $y' = p$ 和 $y'' = p'$，将原方程 $xy'' + 3y' = 0$ 替换为 $xp' + 3p = 0$。
步骤 2：分离变量
将方程 $xp' + 3p = 0$ 重写为 $\frac{dp}{p} = -\frac{3}{x} dx$。
步骤 3：积分求解
对两边进行积分，得到 $\ln|p| = -3\ln|x| + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：指数运算
对两边进行指数运算，得到 $p = \frac{C_1}{x^3}$，其中 $C_1$ 是任意常数。
步骤 5：回代 $p = y'$
将 $p = \frac{C_1}{x^3}$ 回代为 $y' = \frac{C_1}{x^3}$。
步骤 6：积分求解 $y$
对 $y' = \frac{C_1}{x^3}$ 关于 $x$ 进行积分，得到 $y = -\frac{C_1}{2x^2} + C_2$，其中 $C_2$ 是另一个积分常数。
步骤 7：通解
设 $C_1 = -2C$，其中 $C$ 是任意常数，得到通解 $y = \frac{C}{x^2} + C_2$。
设 $y' = p$ 和 $y'' = p'$，将原方程 $xy'' + 3y' = 0$ 替换为 $xp' + 3p = 0$。
步骤 2：分离变量
将方程 $xp' + 3p = 0$ 重写为 $\frac{dp}{p} = -\frac{3}{x} dx$。
步骤 3：积分求解
对两边进行积分，得到 $\ln|p| = -3\ln|x| + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：指数运算
对两边进行指数运算，得到 $p = \frac{C_1}{x^3}$，其中 $C_1$ 是任意常数。
步骤 5：回代 $p = y'$
将 $p = \frac{C_1}{x^3}$ 回代为 $y' = \frac{C_1}{x^3}$。
步骤 6：积分求解 $y$
对 $y' = \frac{C_1}{x^3}$ 关于 $x$ 进行积分，得到 $y = -\frac{C_1}{2x^2} + C_2$，其中 $C_2$ 是另一个积分常数。
步骤 7：通解
设 $C_1 = -2C$，其中 $C$ 是任意常数，得到通解 $y = \frac{C}{x^2} + C_2$。