[题目]设函数 y=f(x) 由方程 ^3+x(y)^2+(x)^2y+6=0 确-|||-定,求f(x)的极值.

步骤 1：求导
对给定的方程 ${y}^{3}+x{y}^{2}+{x}^{2}y+6=0$ 关于 $x$ 求导，得到：
$3{y}^{2}y'+2xyy'+{y}^{2}+2xy+{x}^{2}y'=0$，
整理得到：
$(3{y}^{2}+2xy+{x}^{2})y'+({y}^{2}+2xy)=0$，
从而得到：
$y'=\dfrac{-{y}^{2}-2xy}{3{y}^{2}+2xy+{x}^{2}}$。

步骤 2：求驻点
令 $y'=0$，即：
$\dfrac{-{y}^{2}-2xy}{3{y}^{2}+2xy+{x}^{2}}=0$，
得到：
$-{y}^{2}-2xy=0$，
解得：
$y=0$ 或 $y=-2x$。
将 $y=0$ 代入原方程，得到：
$6=0$，无解。
将 $y=-2x$ 代入原方程，得到：
$(-2x)^{3}+x(-2x)^{2}+{x}^{2}(-2x)+6=0$，
化简得到：
$-8{x}^{3}+4{x}^{3}-2{x}^{3}+6=0$，
即：
$-6{x}^{3}+6=0$，
解得：
$x=1$，
从而得到 $y=-2$。
因此，函数的唯一驻点为 $(1,-2)$。

步骤 3：判断极值
对 $y'$ 关于 $x$ 求导，得到：
$y''=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{-{y}^{2}-2xy}{3{y}^{2}+2xy+{x}^{2}}\right)$，
将 $x=1$，$y=-2$ 代入，得到：
$y''(1)=\dfrac{4}{9}$，
因为 $y''(1)>0$，所以函数在 $x=1$ 处取得极小值 $y=-2$。