[题目]设函数 y=f(x) 由方程 ^3+x(y)^2+(x)^2y+6=0 确-|||-定,求f(x)的极值.

考查要点：本题主要考查隐函数求导法、极值的求解方法，以及二阶导数在极值判断中的应用。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：对原方程两边关于$x$求导，得到$\dfrac{dy}{dx}$的表达式。
2. 求驻点：令$\dfrac{dy}{dx}=0$，联立原方程，解出可能的驻点坐标。
3. 二阶导数判断极值：对驻点处求二阶导数，根据其符号确定极值类型。

破题关键点：

• 正确求导：隐函数求导时需注意乘积法则和链式法则的应用。
• 联立方程求解：通过$\dfrac{dy}{dx}=0$和原方程联立，排除无解情况，得到唯一驻点。
• 二阶导数符号分析：通过二阶导数的正负判断极值的凹凸性。

1. 求一阶导数$\dfrac{dy}{dx}$

对原方程$y^3 + xy^2 + x^2y + 6 = 0$两边关于$x$求导：
$3y^2 y' + y^2 + 2xy y' + 2xy + x^2 y' = 0$
整理得：
$y' = \dfrac{ -y^2 - 2xy }{ 3y^2 + 2xy + x^2 }$

2. 求驻点

令$\dfrac{dy}{dx} = 0$，即分子为零：
$y^2 + 2xy = 0 \implies y(y + 2x) = 0$
分两种情况讨论：

• 情况1：$y = 0$，代入原方程得$6 = 0$，矛盾，无解。
• 情况2：$y = -2x$，代入原方程：
  $(-2x)^3 + x(-2x)^2 + x^2(-2x) + 6 = 0 \implies -6x^3 + 6 = 0 \implies x = 1$
  对应$y = -2 \times 1 = -2$，故唯一驻点为$(1, -2)$。

3. 求二阶导数判断极值

对一阶导数表达式再次求导（过程略），带入$x=1$，$y=-2$，$y'=0$，计算得：
$y'' = \dfrac{4}{9} > 0$
二阶导数为正，说明函数在$x=1$处取得极小值，极小值为$y = -2$。