题目
7.已知当x→0时，ax^3与sqrt(1+x^2)-xln(1+(x)/(2))+b为等价无穷小，则ab=____
7.已知当x→0时，$ax^{3}$与$\sqrt{1+x^{2}}-xln(1+\frac{x}{2})+b$为等价无穷小，则ab=____
题目解答
答案
将表达式泰勒展开：
\[
\sqrt{1+x^2} \approx 1 + \frac{x^2}{2}, \quad x \ln\left(1 + \frac{x}{2}\right) \approx \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{8}
\]
代入原式得：
\[
\sqrt{1+x^2} - x \ln\left(1 + \frac{x}{2}\right) + b \approx 1 + b + \frac{x^3}{8}
\]
为使 $ax^3$ 与上式等价无穷小，需 $1 + b = 0$，即 $b = -1$，此时：
\[
\frac{ax^3}{\frac{x^3}{8}} \to 1 \implies a = \frac{1}{8}
\]
故 $ab = -\frac{1}{8}$。
答案：$\boxed{-\frac{1}{8}}$
解析
步骤 1：泰勒展开
将表达式 $\sqrt{1+x^{2}}$ 和 $x\ln(1+\frac{x}{2})$ 进行泰勒展开，得到：
\[ \sqrt{1+x^{2}} \approx 1 + \frac{x^{2}}{2} \]
\[ x\ln(1+\frac{x}{2}) \approx x\left(\frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8}\right) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{8} \]
步骤 2：代入原式
将泰勒展开的结果代入原式 $\sqrt{1+x^{2}}-x\ln(1+\frac{x}{2})+b$，得到：
\[ \sqrt{1+x^{2}}-x\ln(1+\frac{x}{2})+b \approx 1 + \frac{x^{2}}{2} - \left(\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{8}\right) + b = 1 + b + \frac{x^{3}}{8} \]
步骤 3：等价无穷小条件
为使 $ax^{3}$ 与 $1 + b + \frac{x^{3}}{8}$ 等价无穷小，需要 $1 + b = 0$，即 $b = -1$。此时，$ax^{3}$ 与 $\frac{x^{3}}{8}$ 等价无穷小，即 $a = \frac{1}{8}$。
将表达式 $\sqrt{1+x^{2}}$ 和 $x\ln(1+\frac{x}{2})$ 进行泰勒展开，得到：
\[ \sqrt{1+x^{2}} \approx 1 + \frac{x^{2}}{2} \]
\[ x\ln(1+\frac{x}{2}) \approx x\left(\frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8}\right) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{8} \]
步骤 2：代入原式
将泰勒展开的结果代入原式 $\sqrt{1+x^{2}}-x\ln(1+\frac{x}{2})+b$，得到：
\[ \sqrt{1+x^{2}}-x\ln(1+\frac{x}{2})+b \approx 1 + \frac{x^{2}}{2} - \left(\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{8}\right) + b = 1 + b + \frac{x^{3}}{8} \]
步骤 3：等价无穷小条件
为使 $ax^{3}$ 与 $1 + b + \frac{x^{3}}{8}$ 等价无穷小，需要 $1 + b = 0$，即 $b = -1$。此时，$ax^{3}$ 与 $\frac{x^{3}}{8}$ 等价无穷小，即 $a = \frac{1}{8}$。