题目
例6 求过点A(2,1,3)且与直线L: dfrac (x+1)(3)=dfrac (y-1)(2)=dfrac (z)(-1) 垂直-|||-相交的直线的方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线L的方向向量
直线L的方程为 $\dfrac {x+1}{3}=\dfrac {y-1}{2}=\dfrac {z}{-1}$ ，由此可知直线L的方向向量为 $\vec{s}=(3,2,-1)$ 。
步骤 2：确定过点A且垂直于直线L的平面方程
过点A(2,1,3)且垂直于直线L的平面方程为 $3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0$ ，即 $3x+2y-z-5=0$ 。
步骤 3：确定通过点A和直线L的平面方程
通过点A(2,1,3)和直线L的平面方程可以通过向量积求得。直线L上的点B(-1,1,0)，则向量 $\overrightarrow {BA}=(3,0,3)$ 。动点M(x,y,z)在该平面上的充分必要条件是向量 $\overrightarrow {BM}=(x+1,y-1,z)$ 、向量 $\vec{s}=(3,2,-1)$ 和向量 $\overrightarrow {BA}=(3,0,3)$ 共面，由此可得平面方程为 $\left |\begin{matrix} x+1& y-1& z\\ 3& 2& -1\\ 3& 0& 3\end{matrix} |=0$ ，即 $6(x+1)-12(y-1)-6z=0$ ，或 $x-2y-z+3=0$ 。
步骤 4：求两平面的交线方程
所求直线为两平面 $3x+2y-z-5=0$ 和 $x-2y-z+3=0$ 的交线，因此所求直线方程为 $\left \{ \begin{matrix} 3x+2y-z-5=0\\ x-2y-z+3=0.\end{matrix} \right.$
步骤 5：简化交线方程
通过消元法，可以将上述方程组简化为直线方程。从方程组中消去z，得到 $4x-4y-2=0$ ，即 $x-y-\dfrac {1}{2}=0$ 。再将 $x=y+\dfrac {1}{2}$ 代入任一方程，得到 $z=2x-2y+3$ 。因此，所求直线方程为 $\dfrac {x-2}{2}=\dfrac {y-1}{-1}=\dfrac {z-3}{4}$ 。
直线L的方程为 $\dfrac {x+1}{3}=\dfrac {y-1}{2}=\dfrac {z}{-1}$ ，由此可知直线L的方向向量为 $\vec{s}=(3,2,-1)$ 。
步骤 2：确定过点A且垂直于直线L的平面方程
过点A(2,1,3)且垂直于直线L的平面方程为 $3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0$ ，即 $3x+2y-z-5=0$ 。
步骤 3：确定通过点A和直线L的平面方程
通过点A(2,1,3)和直线L的平面方程可以通过向量积求得。直线L上的点B(-1,1,0)，则向量 $\overrightarrow {BA}=(3,0,3)$ 。动点M(x,y,z)在该平面上的充分必要条件是向量 $\overrightarrow {BM}=(x+1,y-1,z)$ 、向量 $\vec{s}=(3,2,-1)$ 和向量 $\overrightarrow {BA}=(3,0,3)$ 共面，由此可得平面方程为 $\left |\begin{matrix} x+1& y-1& z\\ 3& 2& -1\\ 3& 0& 3\end{matrix} |=0$ ，即 $6(x+1)-12(y-1)-6z=0$ ，或 $x-2y-z+3=0$ 。
步骤 4：求两平面的交线方程
所求直线为两平面 $3x+2y-z-5=0$ 和 $x-2y-z+3=0$ 的交线，因此所求直线方程为 $\left \{ \begin{matrix} 3x+2y-z-5=0\\ x-2y-z+3=0.\end{matrix} \right.$
步骤 5：简化交线方程
通过消元法，可以将上述方程组简化为直线方程。从方程组中消去z，得到 $4x-4y-2=0$ ，即 $x-y-\dfrac {1}{2}=0$ 。再将 $x=y+\dfrac {1}{2}$ 代入任一方程，得到 $z=2x-2y+3$ 。因此，所求直线方程为 $\dfrac {x-2}{2}=\dfrac {y-1}{-1}=\dfrac {z-3}{4}$ 。