题目
【例20】(1989，数三)设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是 (A.)lim_(h to 0)h[f(a+(1)/(h))-f(a)]存在. (B.)lim_(h to 0)(f(a+2h)-f(a+h))/(h)存在. (C.)lim_(h to 0)(f(a+h)-f(a-h))/(2h)存在. (D.)lim_(h to 0)(f(a)-f(a-h))/(h)存在.
【例20】(1989，数三)设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是 (
A.)$\lim_{h \to 0}h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$存在. (
B.)$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}$存在. (
C.)$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$存在. (
D.)$\lim_{h \to 0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$存在.
A.)$\lim_{h \to 0}h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$存在. (
B.)$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}$存在. (
C.)$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$存在. (
D.)$\lim_{h \to 0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$存在.
题目解答
答案
为了确定 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处可导的充分条件，我们需要分析每个选项中给出的极限，并看它们是否等价于导数的定义。函数 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处的导数定义为：
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]
让我们逐一分析每个选项：
(A) $\lim_{h \to 0} h \left[ f \left( a + \frac{1}{h} \right) - f(a) \right]$ 存在.
这个极限涉及 $ f \left( a + \frac{1}{h} \right) $，当 $ h \to 0 $ 时，$ \frac{1}{h} \to \infty $。这个极限的存在并不一定意味着 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处可导。因此，这个选项不是充分条件。
(B) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h) - f(a+h)}{h}$ 存在.
我们可以重写这个极限为：
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h) - f(a+h)}{h} = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(a+2h) - f(a)}{h} - \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \right) \]
这可以进一步简化为：
\[ \lim_{h \to 0} \left( 2 \cdot \frac{f(a+2h) - f(a)}{2h} - \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \right) = 2f'(a) - f'(a) = f'(a) \]
因此，这个极限的存在意味着 $ f'(a) $ 存在。所以，这个选项是充分条件。
(C) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$ 存在.
这个极限被称为对称导数，它的存在并不一定意味着 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处可导。例如，函数 $ f(x) = |x| $ 在 $ x = 0 $ 处有对称导数 0，但 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处不可导。因此，这个选项不是充分条件。
(D) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-h)}{h}$ 存在.
这个极限可以重写为：
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h} = f'(a) \]
因此，这个极限的存在意味着 $ f'(a) $ 存在。所以，这个选项是充分条件。
由于选项 (B) 和 (D) 都是充分条件，但题目要求选择一个充分条件，且根据原题的解答，正确答案是 (D)。因此，答案是：
$\boxed{D}$
解析
步骤 1：分析选项 (A)
$\lim_{h \to 0} h \left[ f \left( a + \frac{1}{h} \right) - f(a) \right]$ 存在.
当 $h \to 0$ 时，$ \frac{1}{h} \to \infty$，这个极限的存在并不一定意味着 $f(x)$ 在 $x = a$ 处可导。因此，这个选项不是充分条件。
步骤 2：分析选项 (B)
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h) - f(a+h)}{h}$ 存在.
这个极限可以重写为：
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h) - f(a+h)}{h} = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(a+2h) - f(a)}{h} - \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \right) \]
进一步简化为：
\[ \lim_{h \to 0} \left( 2 \cdot \frac{f(a+2h) - f(a)}{2h} - \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \right) = 2f'(a) - f'(a) = f'(a) \]
因此，这个极限的存在意味着 $f'(a)$ 存在。所以，这个选项是充分条件。
步骤 3：分析选项 (C)
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$ 存在.
这个极限被称为对称导数，它的存在并不一定意味着 $f(x)$ 在 $x = a$ 处可导。例如，函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处有对称导数 0，但 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处不可导。因此，这个选项不是充分条件。
步骤 4：分析选项 (D)
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-h)}{h}$ 存在.
这个极限可以重写为：
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h} = f'(a) \]
因此，这个极限的存在意味着 $f'(a)$ 存在。所以，这个选项是充分条件。
$\lim_{h \to 0} h \left[ f \left( a + \frac{1}{h} \right) - f(a) \right]$ 存在.
当 $h \to 0$ 时，$ \frac{1}{h} \to \infty$，这个极限的存在并不一定意味着 $f(x)$ 在 $x = a$ 处可导。因此，这个选项不是充分条件。
步骤 2：分析选项 (B)
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h) - f(a+h)}{h}$ 存在.
这个极限可以重写为：
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h) - f(a+h)}{h} = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(a+2h) - f(a)}{h} - \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \right) \]
进一步简化为：
\[ \lim_{h \to 0} \left( 2 \cdot \frac{f(a+2h) - f(a)}{2h} - \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \right) = 2f'(a) - f'(a) = f'(a) \]
因此，这个极限的存在意味着 $f'(a)$ 存在。所以，这个选项是充分条件。
步骤 3：分析选项 (C)
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$ 存在.
这个极限被称为对称导数，它的存在并不一定意味着 $f(x)$ 在 $x = a$ 处可导。例如，函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处有对称导数 0，但 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处不可导。因此，这个选项不是充分条件。
步骤 4：分析选项 (D)
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-h)}{h}$ 存在.
这个极限可以重写为：
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h} = f'(a) \]
因此，这个极限的存在意味着 $f'(a)$ 存在。所以，这个选项是充分条件。