设l为椭圆dfrac ({x)^2}(4)+dfrac ({y)^2}(3)=1，其周长记为a，则dfrac ({x)^2}(4)+dfrac ({y)^2}(3)=1=______．

考查要点：本题主要考查曲线积分的对称性应用以及椭圆方程的代数变形。关键在于利用椭圆的对称性简化积分计算。

解题思路：

1. 代数变形：将椭圆方程转化为标准形式，找到与被积函数相关的代数关系，简化积分表达式。
2. 对称性分析：利用椭圆关于坐标轴的对称性，判断被积函数的奇偶性，从而快速确定某些积分项的值。
3. 几何意义：将剩余的常数项积分转化为椭圆周长的倍数。

步骤1：椭圆方程变形

椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$，两边同乘12得：
$3x^2 + 4y^2 = 12$

步骤2：简化被积函数

将原积分表达式 $(2xy + 3x^2 + 4y^2) \, ds$ 中的 $3x^2 + 4y^2$ 替换为12：
$2xy + 3x^2 + 4y^2 = 2xy + 12$

步骤3：拆分积分项

原积分拆分为两部分：
$\int_L (2xy + 12) \, ds = \int_L 2xy \, ds + \int_L 12 \, ds$

步骤4：利用对称性计算 $\int_L 2xy \, ds$

椭圆关于x轴对称，而被积函数 $xy$ 是关于y的奇函数（将$y$替换为$-y$后符号改变）。因此：
$\int_L xy \, ds = 0 \quad \Rightarrow \quad \int_L 2xy \, ds = 0$

步骤5：计算 $\int_L 12 \, ds$

$\int_L 12 \, ds$ 表示常数12乘以椭圆周长，即：
$\int_L 12 \, ds = 12a$

最终结果

将两部分结果相加：
$\int_L (2xy + 3x^2 + 4y^2) \, ds = 0 + 12a = 12a$