题目
设l为椭圆dfrac ({x)^2}(4)+dfrac ({y)^2}(3)=1，其周长记为a，则dfrac ({x)^2}(4)+dfrac ({y)^2}(3)=1=______．
设l为椭圆
，其周长记为a，则
=______．
题目解答
答案
解析
步骤 1：代入椭圆方程
椭圆方程为 $\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$，可以变形为 $3{x}^{2}+4{y}^{2}=12$。将这个方程代入曲线积分中，得到 $\dfrac{1}{L}(2xy+3{x}^{2}+4{y}^{2})ds$。
步骤 2：简化积分表达式
将 $3{x}^{2}+4{y}^{2}=12$ 代入，得到 $\dfrac{1}{L}(2xy+12)ds$。这个表达式可以进一步分解为 $2\dfrac{1}{L}xyds+12\dfrac{1}{L}ds$。
步骤 3：利用对称性简化积分
由于椭圆关于x轴对称，被积函数xy是关于y的奇函数，因此 $\dfrac{1}{L}xyds=0$。所以，原积分简化为 $12\dfrac{1}{L}ds$。
步骤 4：计算最终结果
由于 $\dfrac{1}{L}ds$ 是单位长度的积分，其结果为1，因此原积分的结果为 $12$。
椭圆方程为 $\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$，可以变形为 $3{x}^{2}+4{y}^{2}=12$。将这个方程代入曲线积分中，得到 $\dfrac{1}{L}(2xy+3{x}^{2}+4{y}^{2})ds$。
步骤 2：简化积分表达式
将 $3{x}^{2}+4{y}^{2}=12$ 代入，得到 $\dfrac{1}{L}(2xy+12)ds$。这个表达式可以进一步分解为 $2\dfrac{1}{L}xyds+12\dfrac{1}{L}ds$。
步骤 3：利用对称性简化积分
由于椭圆关于x轴对称，被积函数xy是关于y的奇函数，因此 $\dfrac{1}{L}xyds=0$。所以，原积分简化为 $12\dfrac{1}{L}ds$。
步骤 4：计算最终结果
由于 $\dfrac{1}{L}ds$ 是单位长度的积分，其结果为1，因此原积分的结果为 $12$。