题目
例4、已知当 arrow 0 时, -sin x 是比 sqrt (1+{x)^n}-1 高阶的无穷小,而 sqrt (1+{x)^n}-1-|||-又是比 ^x-1 高阶的无穷小,则正.整数 n= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $x-\sin x$ 的等价无穷小
当 $x\rightarrow 0$ 时，$x-\sin x$ 的等价无穷小为 $\dfrac{1}{6}x^3$。这是因为 $\sin x$ 的泰勒展开式为 $\sin x = x - \dfrac{1}{6}x^3 + O(x^5)$，所以 $x-\sin x = \dfrac{1}{6}x^3 + O(x^5)$。
步骤 2：确定 $\sqrt{1+x^n}-1$ 的等价无穷小
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\sqrt{1+x^n}-1$ 的等价无穷小为 $\dfrac{1}{2}x^n$。这是因为 $\sqrt{1+x^n}$ 的泰勒展开式为 $\sqrt{1+x^n} = 1 + \dfrac{1}{2}x^n + O(x^{2n})$，所以 $\sqrt{1+x^n}-1 = \dfrac{1}{2}x^n + O(x^{2n})$。
步骤 3：确定 ${e}^{x}-1$ 的等价无穷小
当 $x\rightarrow 0$ 时，${e}^{x}-1$ 的等价无穷小为 $x$。这是因为 ${e}^{x}$ 的泰勒展开式为 ${e}^{x} = 1 + x + \dfrac{1}{2}x^2 + O(x^3)$，所以 ${e}^{x}-1 = x + \dfrac{1}{2}x^2 + O(x^3)$。
步骤 4：根据高阶无穷小的定义确定 $n$ 的值
根据题意，$x-\sin x$ 是比 $\sqrt{1+x^n}-1$ 高阶的无穷小，而 $\sqrt{1+x^n}-1$ 又是比 ${e}^{x}-1$ 高阶的无穷小。所以，$\dfrac{1}{6}x^3$ 是比 $\dfrac{1}{2}x^n$ 高阶的无穷小，而 $\dfrac{1}{2}x^n$ 又是比 $x$ 高阶的无穷小。因此，$3 > n > 1$。所以，$n=2$。
当 $x\rightarrow 0$ 时，$x-\sin x$ 的等价无穷小为 $\dfrac{1}{6}x^3$。这是因为 $\sin x$ 的泰勒展开式为 $\sin x = x - \dfrac{1}{6}x^3 + O(x^5)$，所以 $x-\sin x = \dfrac{1}{6}x^3 + O(x^5)$。
步骤 2：确定 $\sqrt{1+x^n}-1$ 的等价无穷小
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\sqrt{1+x^n}-1$ 的等价无穷小为 $\dfrac{1}{2}x^n$。这是因为 $\sqrt{1+x^n}$ 的泰勒展开式为 $\sqrt{1+x^n} = 1 + \dfrac{1}{2}x^n + O(x^{2n})$，所以 $\sqrt{1+x^n}-1 = \dfrac{1}{2}x^n + O(x^{2n})$。
步骤 3：确定 ${e}^{x}-1$ 的等价无穷小
当 $x\rightarrow 0$ 时，${e}^{x}-1$ 的等价无穷小为 $x$。这是因为 ${e}^{x}$ 的泰勒展开式为 ${e}^{x} = 1 + x + \dfrac{1}{2}x^2 + O(x^3)$，所以 ${e}^{x}-1 = x + \dfrac{1}{2}x^2 + O(x^3)$。
步骤 4：根据高阶无穷小的定义确定 $n$ 的值
根据题意，$x-\sin x$ 是比 $\sqrt{1+x^n}-1$ 高阶的无穷小，而 $\sqrt{1+x^n}-1$ 又是比 ${e}^{x}-1$ 高阶的无穷小。所以，$\dfrac{1}{6}x^3$ 是比 $\dfrac{1}{2}x^n$ 高阶的无穷小，而 $\dfrac{1}{2}x^n$ 又是比 $x$ 高阶的无穷小。因此，$3 > n > 1$。所以，$n=2$。