题目
9.计算题-|||-当k为何值时,齐次线性方程组( { ) k(x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)=0 k(x)_(1)+3(x)_(2)-(x)_(3)=0 -(x)_(2)+k(x)_(3)=0 . 只有零解?
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出系数矩阵
首先，将给定的齐次线性方程组写成矩阵形式，即系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
k & 1 & 1 \\
k & 3 & -1 \\
0 & -1 & k
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
为了判断方程组是否有非零解，我们需要计算系数矩阵的行列式。行列式为：
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
k & 1 & 1 \\
k & 3 & -1 \\
0 & -1 & k
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：展开行列式
根据行列式的性质，我们可以通过第一行展开行列式：
$$
\det(A) = k \begin{vmatrix}
3 & -1 \\
-1 & k
\end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix}
k & -1 \\
0 & k
\end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix}
k & 3 \\
0 & -1
\end{vmatrix}
$$
步骤 4：计算行列式的值
计算上述行列式的值：
$$
\det(A) = k(3k + 1) - 1(k^2) + 1(-k) = 3k^2 + k - k^2 - k = 2k^2
$$
步骤 5：判断行列式是否为零
为了使方程组只有零解，行列式必须不为零，即：
$$
2k^2 \neq 0
$$
步骤 6：求解k的值
解上述不等式，得到：
$$
k \neq 0
$$
首先，将给定的齐次线性方程组写成矩阵形式，即系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
k & 1 & 1 \\
k & 3 & -1 \\
0 & -1 & k
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
为了判断方程组是否有非零解，我们需要计算系数矩阵的行列式。行列式为：
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
k & 1 & 1 \\
k & 3 & -1 \\
0 & -1 & k
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：展开行列式
根据行列式的性质，我们可以通过第一行展开行列式：
$$
\det(A) = k \begin{vmatrix}
3 & -1 \\
-1 & k
\end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix}
k & -1 \\
0 & k
\end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix}
k & 3 \\
0 & -1
\end{vmatrix}
$$
步骤 4：计算行列式的值
计算上述行列式的值：
$$
\det(A) = k(3k + 1) - 1(k^2) + 1(-k) = 3k^2 + k - k^2 - k = 2k^2
$$
步骤 5：判断行列式是否为零
为了使方程组只有零解，行列式必须不为零，即：
$$
2k^2 \neq 0
$$
步骤 6：求解k的值
解上述不等式，得到：
$$
k \neq 0
$$