题目
6.某人打靶射击1000次，每次命中的概率为0.6，随机变量X为命中的次数，则X：B(1000,0.6)，用切比雪夫不等式估计P(580≤X≤620)≥____.
6.某人打靶射击1000次，每次命中的概率为0.6，随机变量X为命中的次数，则
X：B(1000,0.6)，用切比雪夫不等式估计P{580≤X≤620}≥____.
题目解答
答案
为了使用切比雪夫不等式估计 $ P\{580 \leq X \leq 620\} $，我们首先需要确定二项随机变量 $ X $ 的期望值 $ E(X) $ 和方差 $ Var(X) $。
已知 $ X \sim B(1000, 0.6) $，我们有：
\[ E(X) = np = 1000 \times 0.6 = 600, \]
\[ Var(X) = np(1-p) = 1000 \times 0.6 \times 0.4 = 240. \]
切比雪夫不等式表明，对于任何随机变量 $ X $ 和任何正数 $ k $，
\[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}, \]
其中 $ \mu = E(X) $ 和 $ \sigma^2 = Var(X) $。因此，
\[ P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}. \]
在我们的问题中，我们想要找到 $ P\{580 \leq X \leq 620\} $。这可以重写为：
\[ P\{580 \leq X \leq 620\} = P\{|X - 600| \leq 20\}. \]
这里， $ k\sigma = 20 $。因为 $ \sigma = \sqrt{240} $，我们有：
\[ k \sqrt{240} = 20 \implies k = \frac{20}{\sqrt{240}} = \frac{20}{4\sqrt{15}} = \frac{5}{\sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{3}. \]
使用切比雪夫不等式，我们得到：
\[ P\{|X - 600| \geq 20\} \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3}\right)^2} = \frac{1}{\frac{15}{9}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6. \]
因此，
\[ P\{|X - 600| < 20\} \geq 1 - 0.6 = 0.4. \]
所以，估计的 $ P\{580 \leq X \leq 620\} $ 的值是：
\[ \boxed{0.4}. \]
解析
步骤 1：计算期望值和方差
根据二项分布的性质，我们有：
\[ E(X) = np = 1000 \times 0.6 = 600, \]
\[ Var(X) = np(1-p) = 1000 \times 0.6 \times 0.4 = 240. \]
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式表明，对于任何随机变量 $ X $ 和任何正数 $ k $，有：
\[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}, \]
其中 $ \mu = E(X) $ 和 $ \sigma^2 = Var(X) $。因此，我们有：
\[ P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}. \]
步骤 3：计算概率
在我们的问题中，我们想要找到 $ P\{580 \leq X \leq 620\} $。这可以重写为：
\[ P\{580 \leq X \leq 620\} = P\{|X - 600| \leq 20\}. \]
这里， $ k\sigma = 20 $。因为 $ \sigma = \sqrt{240} $，我们有：
\[ k \sqrt{240} = 20 \implies k = \frac{20}{\sqrt{240}} = \frac{20}{4\sqrt{15}} = \frac{5}{\sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{3}. \]
使用切比雪夫不等式，我们得到：
\[ P\{|X - 600| \geq 20\} \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3}\right)^2} = \frac{1}{\frac{15}{9}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6. \]
因此，
\[ P\{|X - 600| < 20\} \geq 1 - 0.6 = 0.4. \]
根据二项分布的性质，我们有：
\[ E(X) = np = 1000 \times 0.6 = 600, \]
\[ Var(X) = np(1-p) = 1000 \times 0.6 \times 0.4 = 240. \]
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式表明，对于任何随机变量 $ X $ 和任何正数 $ k $，有：
\[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}, \]
其中 $ \mu = E(X) $ 和 $ \sigma^2 = Var(X) $。因此，我们有：
\[ P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}. \]
步骤 3：计算概率
在我们的问题中，我们想要找到 $ P\{580 \leq X \leq 620\} $。这可以重写为：
\[ P\{580 \leq X \leq 620\} = P\{|X - 600| \leq 20\}. \]
这里， $ k\sigma = 20 $。因为 $ \sigma = \sqrt{240} $，我们有：
\[ k \sqrt{240} = 20 \implies k = \frac{20}{\sqrt{240}} = \frac{20}{4\sqrt{15}} = \frac{5}{\sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{3}. \]
使用切比雪夫不等式，我们得到：
\[ P\{|X - 600| \geq 20\} \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3}\right)^2} = \frac{1}{\frac{15}{9}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6. \]
因此，
\[ P\{|X - 600| < 20\} \geq 1 - 0.6 = 0.4. \]