设a,b, in R 证明: ^2+(b)^2+(c)^2=ab+ac+bc 的充要条件是 =b=c.

步骤 1：充分性证明
假设 $a=b=c$，则有：
\[
{(a-b)}^{2}+{(b-c)}^{2}+{(a-c)}^{2}=0
\]
因为 $a=b=c$，所以 $(a-b)=0$，$(b-c)=0$，$(a-c)=0$，从而：
\[
{(a-b)}^{2}+{(b-c)}^{2}+{(a-c)}^{2}=0+0+0=0
\]
因此：
\[
{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-ab-ac-bc=0
\]
即：
\[
{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=ab+ac+bc
\]

步骤 2：必要性证明
假设 ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=ab+ac+bc$，则有：
\[
{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-ab-ac-bc=0
\]
将上式变形为：
\[
\frac{1}{2} \left(2{a}^{2}+2{b}^{2}+2{c}^{2}-2ab-2ac-2bc\right)=0
\]
即：
\[
\frac{1}{2} \left({(a-b)}^{2}+{(b-c)}^{2}+{(a-c)}^{2}\right)=0
\]
因为 ${(a-b)}^{2}+{(b-c)}^{2}+{(a-c)}^{2}$ 是非负的，所以：
\[
{(a-b)}^{2}+{(b-c)}^{2}+{(a-c)}^{2}=0
\]
从而：
\[
a-b=0, b-c=0, a-c=0
\]
即：
\[
a=b=c
\]