题目
1.求锥面 z=sqrt(x^2)+y^(2) 被柱面 z^2=4x 所割下部分的曲面面积.
1.求锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $z^{2}=4x$ 所割下部分的曲面面积.
题目解答
答案
将锥面方程 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 代入柱面方程 $z^2 = 4x$，得投影区域 $D: (x-2)^2 + y^2 \leq 4$，为以 $(2,0)$ 为中心、半径为 2 的圆。
计算曲面面积元素：
\[
dS = \sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2 + \left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2} \, dA = \sqrt{2} \, dA
\]
积分求面积：
\[
A = \iint_D \sqrt{2} \, dA = \sqrt{2} \times \text{圆面积} = \sqrt{2} \times \pi \times 2^2 = 4\sqrt{2}\pi
\]
**答案：** $\boxed{4\sqrt{2}\pi}$
解析
步骤 1：确定投影区域
将锥面方程 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 代入柱面方程 $z^2 = 4x$，得 $x^2 + y^2 = 4x$，即 $(x-2)^2 + y^2 = 4$。这表示投影区域 $D$ 是以 $(2,0)$ 为中心、半径为 2 的圆。
步骤 2：计算曲面面积元素
曲面面积元素 $dS$ 可以通过计算曲面的法向量的模长来得到。曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 的法向量为 $\vec{n} = \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}, -1\right)$，其模长为 $\sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2 + \left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2} = \sqrt{2}$。因此，曲面面积元素 $dS = \sqrt{2} \, dA$。
步骤 3：积分求面积
曲面面积 $A$ 可以通过积分曲面面积元素 $dS$ 来得到。即 $A = \iint_D \sqrt{2} \, dA$。由于 $D$ 是以 $(2,0)$ 为中心、半径为 2 的圆，其面积为 $\pi \times 2^2 = 4\pi$。因此，$A = \sqrt{2} \times 4\pi = 4\sqrt{2}\pi$。
将锥面方程 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 代入柱面方程 $z^2 = 4x$，得 $x^2 + y^2 = 4x$，即 $(x-2)^2 + y^2 = 4$。这表示投影区域 $D$ 是以 $(2,0)$ 为中心、半径为 2 的圆。
步骤 2：计算曲面面积元素
曲面面积元素 $dS$ 可以通过计算曲面的法向量的模长来得到。曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 的法向量为 $\vec{n} = \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}, -1\right)$，其模长为 $\sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2 + \left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2} = \sqrt{2}$。因此，曲面面积元素 $dS = \sqrt{2} \, dA$。
步骤 3：积分求面积
曲面面积 $A$ 可以通过积分曲面面积元素 $dS$ 来得到。即 $A = \iint_D \sqrt{2} \, dA$。由于 $D$ 是以 $(2,0)$ 为中心、半径为 2 的圆，其面积为 $\pi \times 2^2 = 4\pi$。因此，$A = \sqrt{2} \times 4\pi = 4\sqrt{2}\pi$。