例3 求由曲线 =(y)^2 以及直线 y=x-2 所围的平面图形的面积.

步骤 1：确定交点
首先，我们需要找到曲线 $x = y^2$ 和直线 $y = x - 2$ 的交点。为此，我们将直线方程代入曲线方程中，得到：
$$
x = (x - 2)^2
$$
解这个方程，我们得到：
$$
x = x^2 - 4x + 4
$$
$$
x^2 - 5x + 4 = 0
$$
解这个二次方程，我们得到：
$$
x = 1, 4
$$
对应的 $y$ 值为：
$$
y = -1, 2
$$
因此，交点坐标为 $(1, -1)$ 和 $(4, 2)$。

步骤 2：确定积分区间
根据交点坐标，我们确定积分区间为 $y$ 从 $-1$ 到 $2$。

步骤 3：计算面积
根据题目，我们使用 $y$ 型面积公式计算面积。面积 $A$ 为：
$$
A = \int_{-1}^{2} [(y + 2) - y^2] dy
$$
计算积分：
$$
A = \int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) dy
$$
$$
A = \left[ \frac{1}{2}y^2 + 2y - \frac{1}{3}y^3 \right]_{-1}^{2}
$$
$$
A = \left( \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) - \frac{1}{3}(2)^3 \right) - \left( \frac{1}{2}(-1)^2 + 2(-1) - \frac{1}{3}(-1)^3 \right)
$$
$$
A = \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right)
$$
$$
A = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right)
$$
$$
A = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} + \frac{7}{6}
$$
$$
A = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}
$$
$$
A = \frac{20}{6} + \frac{7}{6}
$$
$$
A = \frac{27}{6}
$$
$$
A = \frac{9}{2}
$$