题目
在P^4中,求由向量 _(i)(i=1,2,3,4) 生成的子空间的-|||-基与维数.设-|||-(1) ) (alpha )_(1)=(2,1,3,1), (alpha )_(2)=(1,2,0,1), (alpha )_(3)=(-1,1,-3,0) (alpha )_(4)=(1,1,1,1); .
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造矩阵
构造一个矩阵，其列向量为给定的向量 ${\alpha }_{i}$。对于问题(1)，构造矩阵 A 为：
\[ A = \left [ \begin{matrix} 2& 1& -1& 1\\ 1& 2& 1& 1\\ 3& 0& -3& 1\\ 1& 1& 0& 1\end{matrix} \right ] \]
对于问题(2)，构造矩阵 A 为：
\[ A = \left [ \begin{matrix} 2& -1& 4& 1\\ 1& 1& 5& 5\\ 3& -3& 3& -3\\ -1& 1& -1& 1\end{matrix} \right ] \]
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵 A 进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。对于问题(1)，变换后得到：
\[ B = \left [ \begin{matrix} 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{matrix} \right ] \]
对于问题(2)，变换后得到：
\[ B = \left [ \begin{matrix} 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} \right ] \]
步骤 3：确定基与维数
根据变换后的矩阵 B，确定线性无关的向量，这些向量构成子空间的基。对于问题(1)，基为 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$，维数为3。对于问题(2)，基为 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{4}$，维数为3。
构造一个矩阵，其列向量为给定的向量 ${\alpha }_{i}$。对于问题(1)，构造矩阵 A 为：
\[ A = \left [ \begin{matrix} 2& 1& -1& 1\\ 1& 2& 1& 1\\ 3& 0& -3& 1\\ 1& 1& 0& 1\end{matrix} \right ] \]
对于问题(2)，构造矩阵 A 为：
\[ A = \left [ \begin{matrix} 2& -1& 4& 1\\ 1& 1& 5& 5\\ 3& -3& 3& -3\\ -1& 1& -1& 1\end{matrix} \right ] \]
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵 A 进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。对于问题(1)，变换后得到：
\[ B = \left [ \begin{matrix} 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{matrix} \right ] \]
对于问题(2)，变换后得到：
\[ B = \left [ \begin{matrix} 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} \right ] \]
步骤 3：确定基与维数
根据变换后的矩阵 B，确定线性无关的向量，这些向量构成子空间的基。对于问题(1)，基为 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$，维数为3。对于问题(2)，基为 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{4}$，维数为3。