18.（简答题，8.0分）（8分）求微分方程y^primeprime-3y^prime+2y=(3x+1)e^2x的通解.

1. **求齐次解**：特征方程为 $ r^2 - 3r + 2 = 0 $，解得 $ r_1 = 1 $，$ r_2 = 2 $。 齐次解为 $ y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x} $。 2. **求特解**：非齐次项为 $ (3x+1)e^{2x} $，设特解形式为 $ y_p = x(Ax + B)e^{2x} $。 代入原方程并整理得 $ y_p'' - 3y_p' + 2y_p = [2Ax + (2A + B)]e^{2x} $。 对比系数得 $ 2A = 3 $，$ 2A + B = 1 $，解得 $ A = \frac{3}{2} $，$ B = -2 $。 故特解为 $ y_p = \left( \frac{3}{2}x^2 - 2x \right)e^{2x} $。 3. **通解**：非齐次方程通解为齐次解与特解之和，即 \[ y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + \left( \frac{3}{2}x^2 - 2x \right)e^{2x}. \] **答案**： \[ \boxed{C_1 e^x + C_2 e^{2x} + \left( \frac{3}{2}x^2 - 2x \right)e^{2x}} \]