题目
若 z=f(x,y) 在(x0,y0)处沿 x轴反方向的方向导数A,则f(x,y)在该点对 x 的-|||-偏导数 ()-|||-(A)为A (B) 为 -A (C)不一定存在 (D) 一定不存在
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解方向导数的定义
方向导数是函数在某一点沿某一方向的变化率。对于函数 \(z = f(x, y)\)，在点 \((x_0, y_0)\) 处沿方向 \(\vec{u}\) 的方向导数定义为：
\[ D_{\vec{u}}f(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h\vec{u}_x, y_0 + h\vec{u}_y) - f(x_0, y_0)}{h} \]
其中，\(\vec{u} = (\vec{u}_x, \vec{u}_y)\) 是单位向量。
步骤 2：确定方向导数的方向
题目中提到的方向是沿x轴反方向，即方向向量为 \((-1, 0)\)。因此，方向导数为：
\[ D_{(-1,0)}f(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]
题目给出这个方向导数为 \(A\)，即：
\[ A = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]
步骤 3：分析偏导数的存在性
偏导数 \(f_x(x_0, y_0)\) 定义为：
\[ f_x(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]
从方向导数的定义可以看出，如果 \(f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处沿x轴反方向的方向导数存在，即 \(A\) 存在，那么 \(f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处沿x轴正方向的方向导数为 \(-A\)。但是，这并不意味着 \(f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处对x的偏导数一定存在，因为偏导数的存在要求从正方向和反方向的极限都存在且相等。因此，偏导数不一定存在。
方向导数是函数在某一点沿某一方向的变化率。对于函数 \(z = f(x, y)\)，在点 \((x_0, y_0)\) 处沿方向 \(\vec{u}\) 的方向导数定义为：
\[ D_{\vec{u}}f(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h\vec{u}_x, y_0 + h\vec{u}_y) - f(x_0, y_0)}{h} \]
其中，\(\vec{u} = (\vec{u}_x, \vec{u}_y)\) 是单位向量。
步骤 2：确定方向导数的方向
题目中提到的方向是沿x轴反方向，即方向向量为 \((-1, 0)\)。因此，方向导数为：
\[ D_{(-1,0)}f(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]
题目给出这个方向导数为 \(A\)，即：
\[ A = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]
步骤 3：分析偏导数的存在性
偏导数 \(f_x(x_0, y_0)\) 定义为：
\[ f_x(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]
从方向导数的定义可以看出，如果 \(f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处沿x轴反方向的方向导数存在，即 \(A\) 存在，那么 \(f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处沿x轴正方向的方向导数为 \(-A\)。但是，这并不意味着 \(f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处对x的偏导数一定存在，因为偏导数的存在要求从正方向和反方向的极限都存在且相等。因此，偏导数不一定存在。