题目
5.(15分)求幂级数sum_(n=1)^infty(n)/(n+1)x^n在其收敛域|x|<1内的和函数.
5.(15分)求幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}x^{n}$在其收敛域|x|<1内的和函数.
题目解答
答案
将原级数分解为几何级数和另一部分：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} x^n - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} x^n
\]
几何级数和为：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}
\]
对第二部分乘以 $x$ 并求导：
\[
x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} x^{n+1}, \quad \text{求导得} \quad \frac{x}{1-x}
\]
积分得：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} x^{n+1} = -x - \ln(1-x) \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} x^n = -1 - \frac{\ln(1-x)}{x}
\]
合并结果：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^n = \frac{x}{1-x} + 1 + \frac{\ln(1-x)}{x} = \frac{1}{1-x} + \frac{\ln(1-x)}{x}
\]
**答案：**
\[
\boxed{\begin{cases}
\frac{1}{1-x} + \frac{\ln(1-x)}{x}, & x \in (-1, 0) \cup (0, 1) \\
0, & x = 0
\end{cases}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查幂级数的求和方法，特别是通过分解为已知级数（如几何级数）和利用求导、积分技巧处理复杂项的能力。
解题核心思路：
- 分解原级数：将通项$\frac{n}{n+1}$拆分为$1 - \frac{1}{n+1}$，将原级数分解为几何级数与另一部分的差。
- 几何级数求和：直接利用几何级数求和公式。
- 处理剩余部分：对$\sum \frac{1}{n+1}x^n$通过乘以$x$、求导、积分等操作转化为已知级数，最终结合积分结果求出和函数。
- 合并结果：将两部分的和函数合并，并处理$x=0$的特殊情况。
破题关键点：
- 拆分通项是简化问题的关键。
- 对$\sum \frac{1}{n+1}x^n$的处理需灵活运用导数与积分的技巧，将其转化为几何级数的形式。
步骤1：分解原级数
将通项$\frac{n}{n+1}$拆分为$1 - \frac{1}{n+1}$，原级数可分解为：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}x^n = \sum_{n=1}^{\infty} x^n - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}x^n.$
步骤2：求几何级数的和
几何级数$\sum_{n=1}^{\infty} x^n$的和为：
$\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x} \quad (|x| < 1).$
步骤3：处理第二部分级数
考虑级数$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}x^n$：
- 乘以$x$：
$xS = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}x^{n+1} = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m}x^m.$ - 求导：
$\frac{d}{dx}(xS) = \sum_{m=2}^{\infty} x^{m-1} = \sum_{k=1}^{\infty} x^k = \frac{x}{1-x}.$ - 积分：
$xS = \int \frac{x}{1-x} dx = -x - \ln(1-x) + C.$
当$x=0$时，$xS=0$，代入得$C=0$，故：
$xS = -x - \ln(1-x) \quad \Rightarrow \quad S = -1 - \frac{\ln(1-x)}{x}.$
步骤4：合并结果
原级数的和为：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}x^n = \frac{x}{1-x} - \left( -1 - \frac{\ln(1-x)}{x} \right) = \frac{1}{1-x} + \frac{\ln(1-x)}{x}.$
注意：当$x=0$时，原级数所有项为$0$，故和函数为$0$。