题目
[题目]设 _(1)=iint Ddfrac (x+y)(4)dxdy, _(2)=iint Dsqrt (dfrac {x+y)(4)}dxdy _(3)=-|||-Ⅱsqrt [3](dfrac {x+y)(4)}dxdy, 且 = (x,y)|{(x-1))^2+((y-1))^2leqslant 2} , 则有-|||-()-|||-A. _(1)lt (I)_(2)lt (I)_(3)-|||-B. _(2)lt (I)_(3)lt (I)_(1)-|||-C. _(3)lt (I)_(1)lt (I)_(2)-|||-D. _(3)lt (I)_(2)lt (I)_(1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析被积函数
由题目知被积函数为 $\dfrac {x+y}{4}$ 的方幂，因此关键看 $\dfrac {x-y}{4}$ 是否小于或大于1。
步骤 2：确定区域D的性质
而区域D表示以(1,1)为圆心，以 $\sqrt {2}$ 为半径的圆。
步骤 3：计算点(1,1)到直线的距离
而点(1,1)到直线 x+y=0 和 x+y=4 的距离为 $\sqrt {2}$。
步骤 4：确定被积函数的取值范围
即在区域D的内部，有 $0\lt \dfrac {x+y}{4}\lt 1$。
步骤 5：比较被积函数的大小
从而有 $\dfrac {x+y}{4}\lt \sqrt {\dfrac {x+y}{4}}\lt \sqrt {\dfrac {x+y}{4}}$。
步骤 6：确定积分的大小关系
从而得到 ${I}_{1}\lt {I}_{2}\lt {I}_{3}$。
由题目知被积函数为 $\dfrac {x+y}{4}$ 的方幂，因此关键看 $\dfrac {x-y}{4}$ 是否小于或大于1。
步骤 2：确定区域D的性质
而区域D表示以(1,1)为圆心，以 $\sqrt {2}$ 为半径的圆。
步骤 3：计算点(1,1)到直线的距离
而点(1,1)到直线 x+y=0 和 x+y=4 的距离为 $\sqrt {2}$。
步骤 4：确定被积函数的取值范围
即在区域D的内部，有 $0\lt \dfrac {x+y}{4}\lt 1$。
步骤 5：比较被积函数的大小
从而有 $\dfrac {x+y}{4}\lt \sqrt {\dfrac {x+y}{4}}\lt \sqrt {\dfrac {x+y}{4}}$。
步骤 6：确定积分的大小关系
从而得到 ${I}_{1}\lt {I}_{2}\lt {I}_{3}$。