题目

单项选择题22、若A⊂B，则overline(B)subsetoverline(A)（）（3分）bigcirc正确bigcirc错误

单项选择题 22、若A⊂B，则$\overline{B}\subset\overline{A}$（）（3分） $\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误

题目解答

答案

已知 $A \subset B$，即 $A$ 中所有元素均在 $B$ 中。对于任意 $x \in \overline{B}$，有 $x \notin B$。由于 $A \subset B$，故 $x \notin A$，即 $x \in \overline{A}$。因此，$\overline{B}$ 中的每个元素都属于 $\overline{A}$，即 $\overline{B} \subset \overline{A}$。 **答案**：$\boxed{\text{正确}}$

解析

考查要点：本题主要考查集合的包含关系与补集之间的逻辑关系，需要理解子集与补集的定义，并运用德摩根定律进行推理。

解题核心思路：

关键点1：若$A \subset B$，则$A$中的元素全部属于$B$。
关键点2：补集的定义是相对于全集$U$，$\overline{B}$表示不属于$B$的所有元素，$\overline{A}$同理。
逻辑推导：通过元素属于$\overline{B}$的性质，结合$A \subset B$，推导出该元素必然属于$\overline{A}$，从而证明$\overline{B} \subset \overline{A}$。

步骤1：理解集合关系
已知$A \subset B$，即所有属于$A$的元素都属于$B$，但$B$中可能存在不属于$A$的元素。

步骤2：分析补集的定义

$\overline{B}$表示全集$U$中不属于$B$的元素，即$\overline{B} = U \setminus B$。
$\overline{A}$同理，$\overline{A} = U \setminus A$。

步骤3：元素关系推导
任取$x \in \overline{B}$，则$x \notin B$。
因为$A \subset B$，所以$x \notin A$（否则$x \in A \subset B$，与$x \notin B$矛盾）。
因此，$x \in \overline{A}$。

结论：$\overline{B}$中的任意元素都属于$\overline{A}$，即$\overline{B} \subset \overline{A}$。