题目
)设当 arrow 0 时, (1-cos x)ln (1+(x)^2) 是比xsinx"高阶的无穷小,而 xsinx"是比 ((e)^(x^2)-1)-|||-高阶的无穷小,则正整数 n 等于 ()-|||-(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析 $(1-\cos x)\ln (1+{x}^{2})$ 的阶数
$(1-\cos x)$ 在 $x \to 0$ 时是 $x^2$ 的高阶无穷小，因为 $\cos x$ 的泰勒展开式为 $1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$，所以 $1-\cos x = \frac{x^2}{2} + O(x^4)$。$\ln (1+{x}^{2})$ 在 $x \to 0$ 时是 $x^2$ 的高阶无穷小，因为 $\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$，所以 $\ln (1+{x}^{2}) = x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6)$。因此，$(1-\cos x)\ln (1+{x}^{2})$ 是 $x^4$ 的高阶无穷小。
步骤 2：分析 $x\sin x$ 的阶数
$x\sin x$ 在 $x \to 0$ 时是 $x^2$ 的高阶无穷小，因为 $\sin x$ 的泰勒展开式为 $x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，所以 $x\sin x = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)$。
步骤 3：分析 $({e}^{{x}^{2}}-1)$ 的阶数
$({e}^{{x}^{2}}-1)$ 在 $x \to 0$ 时是 $x^2$ 的高阶无穷小，因为 $e^x$ 的泰勒展开式为 $1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$，所以 $e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6)$，因此 $({e}^{{x}^{2}}-1) = x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6)$。
步骤 4：确定正整数n
根据题目条件，$(1-\cos x)\ln (1+{x}^{2})$ 是比 $x\sin x$ 高阶的无穷小，而 $x\sin x$ 是比 $({e}^{{x}^{2}}-1)$ 高阶的无穷小。因此，$(1-\cos x)\ln (1+{x}^{2})$ 是 $x^4$ 的高阶无穷小，$x\sin x$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小，$({e}^{{x}^{2}}-1)$ 也是 $x^2$ 的高阶无穷小。因此，$n=2$。
$(1-\cos x)$ 在 $x \to 0$ 时是 $x^2$ 的高阶无穷小，因为 $\cos x$ 的泰勒展开式为 $1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$，所以 $1-\cos x = \frac{x^2}{2} + O(x^4)$。$\ln (1+{x}^{2})$ 在 $x \to 0$ 时是 $x^2$ 的高阶无穷小，因为 $\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$，所以 $\ln (1+{x}^{2}) = x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6)$。因此，$(1-\cos x)\ln (1+{x}^{2})$ 是 $x^4$ 的高阶无穷小。
步骤 2：分析 $x\sin x$ 的阶数
$x\sin x$ 在 $x \to 0$ 时是 $x^2$ 的高阶无穷小，因为 $\sin x$ 的泰勒展开式为 $x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，所以 $x\sin x = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)$。
步骤 3：分析 $({e}^{{x}^{2}}-1)$ 的阶数
$({e}^{{x}^{2}}-1)$ 在 $x \to 0$ 时是 $x^2$ 的高阶无穷小，因为 $e^x$ 的泰勒展开式为 $1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$，所以 $e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6)$，因此 $({e}^{{x}^{2}}-1) = x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6)$。
步骤 4：确定正整数n
根据题目条件，$(1-\cos x)\ln (1+{x}^{2})$ 是比 $x\sin x$ 高阶的无穷小，而 $x\sin x$ 是比 $({e}^{{x}^{2}}-1)$ 高阶的无穷小。因此，$(1-\cos x)\ln (1+{x}^{2})$ 是 $x^4$ 的高阶无穷小，$x\sin x$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小，$({e}^{{x}^{2}}-1)$ 也是 $x^2$ 的高阶无穷小。因此，$n=2$。