)设当 arrow 0 时, (1-cos x)ln (1+(x)^2) 是比xsinx"高阶的无穷小,而 xsinx"是比 ((e)^(x^2)-1)-|||-高阶的无穷小,则正整数 n 等于 ()-|||-(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4

考查要点：本题主要考查无穷小比较的阶数判断，需要利用泰勒展开式或等价无穷小进行分析。

解题核心思路：

1. 比较两个无穷小的阶数：当$x \to 0$时，若$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$。
2. 展开关键函数：将题目中的函数（如$\cos x$、$\ln(1+x^2)$、$\sin x$、$e^{x^2}-1$）展开为泰勒多项式，提取主要项。
3. 确定阶数关系：根据展开式中最高次项的次数，建立关于$n$的不等式，最终确定$n$的值。

破题关键点：

• 第一个条件：$(1-\cos x)\ln(1+x^2)$的阶数高于$x(\sin x)^n$，需通过展开式比较两者的最高次项次数。
• 第二个条件：$x(\sin x)^n$的阶数高于$e^{x^2}-1$，需验证展开后的次数关系。

步骤1：展开各函数的主要项

1. $1 - \cos x$：
   $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots$，故
   $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} \quad (\text{阶数为2})$

2. $\ln(1+x^2)$：
   $\ln(1+t) \sim t$（当$t \to 0$），故
   $\ln(1+x^2) \sim x^2 \quad (\text{阶数为2})$

3. $(1-\cos x)\ln(1+x^2)$：
   两式相乘得：
   $\frac{x^2}{2} \cdot x^2 = \frac{x^4}{2} \quad (\text{阶数为4})$

4. $x(\sin x)^n$：
   $\sin x \sim x - \frac{x^3}{6} + \dots$，故$(\sin x)^n \sim x^n - \frac{n x^{n+2}}{6} + \dots$，因此：
   $x(\sin x)^n \sim x^{n+1} \quad (\text{阶数为}n+1)$

5. $e^{x^2} - 1$：
   $e^{x^2} - 1 \sim x^2 + \frac{x^4}{2} + \dots \quad (\text{阶数为2})$

步骤2：建立阶数关系

1. 第一个条件：
   $(1-\cos x)\ln(1+x^2)$的阶数（4）高于$x(\sin x)^n$的阶数（$n+1$），即：
   $4 > n+1 \quad \Rightarrow \quad n < 3$

2. 第二个条件：
   $x(\sin x)^n$的阶数（$n+1$）高于$e^{x^2}-1$的阶数（2），即：
   $n+1 > 2 \quad \Rightarrow \quad n > 1$

步骤3：确定整数解

综合两个不等式：
$1 < n < 3$
由于$n$为正整数，故$n=2$。