3.问a,b为何值时,有极限-|||-lim _(xarrow 0)(dfrac (sin 3x)({x)^3}+dfrac (a)({x)^2}+b)=0-|||-成立.

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用泰勒展开处理高阶无穷小的叠加问题，以及通过调整参数使极限存在的能力。

解题核心思路：

1. 泰勒展开：将$\sin 3x$展开到足够高的阶数，以便分离出不同阶的无穷小项。
2. 合并同类项：将展开后的各项与$\frac{a}{x^2}$和$b$合并，分析各阶无穷小的系数。
3. 令高阶无穷小系数为零：确保极限存在且为有限值。
4. 调整常数项：使剩余常数项等于零，满足极限值为0的条件。

破题关键点：

• 识别高阶无穷小的抵消条件：通过调整$a$和$b$，消除$\frac{1}{x^2}$项的发散性，并使常数项为零。

将$\sin 3x$展开为泰勒级数：
$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{6} + \frac{(3x)^5}{120} - \cdots$
代入原式并拆分项：
$\begin{aligned}\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{x^3} + \frac{a}{x^2} + b \right) &= \lim_{x \to 0} \left( \frac{3x - \frac{27x^3}{6} + \cdots}{x^3} + \frac{a}{x^2} + b \right) \\&= \lim_{x \to 0} \left( \frac{3}{x^2} - \frac{9}{2} + \frac{a}{x^2} + b + \cdots \right) \\&= \lim_{x \to 0} \left( \frac{3 + a}{x^2} + \left( b - \frac{9}{2} \right) + \cdots \right)\end{aligned}$

步骤1：消除$\frac{1}{x^2}$项
若$\frac{3 + a}{x^2}$存在，则极限发散。令其系数为零：
$3 + a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -3$

步骤2：调整常数项
剩余常数项为$b - \frac{9}{2}$，令其等于零：
$b - \frac{9}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{9}{2}$